Question

18．如圖，B、C、D在同一直線上，△ABC和△DCE都是等邊三角形，且在直線BD的同側(cè)，BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N．
（1）求證：AD=BE；   
（2）求證：△ABF∽△ADB．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質(zhì)證明△BCE≌△ACD，就可以得出結(jié)論；
（2）由△BCE≌△ACD，得∠CBE=∠CAD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知：∠AFB=60°=∠ABC，并由公共角∠BAF=∠BAD，得△ABF∽△ADB．

解答 證明：（1）∵△ABC與△DCE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠DCE，
即∠BCE=∠ACD．
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE；
（2）由（1）知：△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD，
又∵∠BMC=∠AMF，
∴∠AFB=∠ACB=60°=∠ABC，
又∵∠BAF=∠BAD，
∴△ABF∽△ADB．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用及全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)的運用．線段相等問題常常運用全等解決．