Question

9．如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．
（2）性質探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB²，CD²與BC²，AD²之間的數量關系AD²+BC²=AB²+CD²．
（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE長．

Answer 1

分析 （1）根據垂直平分線的判定定理證明即可；
（2）根據垂直的定義和勾股定理解答即可；
（3）根據垂美四邊形的性質、勾股定理、結合（2）的結論計算．

解答 解：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形．
證明：∵AB=AD，
∴點A在線段BD的垂直平分線上，
∵CB=CD，
∴點C在線段BD的垂直平分線上，
∴直線AC是線段BD的垂直平分線，
∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；
（2）猜想結論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．
如圖2，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E，
求證：AD²+BC²=AB²+CD²
證明：∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得，AD²+BC²=AE²+DE²+BE²+CE²，
AB²+CD²=AE²+BE²+CE²+DE²，
∴AD²+BC²=AB²+CD²；
故答案為：AD²+BC²=AB²+CD²．
（3）連接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AC}\\{∠GAB=∠CAE}\\{AB=AE}\end{array}\right.$，
∴△GAB≌△CAE，
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四邊形CGEB是垂美四邊形，
由（2）得，CG²+BE²=CB²+GE²，
∵AC=4，AB=5，
∴BC=3，CG=4$\sqrt{2}$，BE=5$\sqrt{2}$，
∴GE²=CG²+BE²-CB²=73，
∴GE=$\sqrt{73}$．

點評 本題考查的是正方形的性質、全等三角形的判定和性質、垂直的定義、勾股定理的應用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題的關鍵．