Question

17．如圖，AB是⊙O的直徑，D是$\widehat{AC}$上一點，且OD經過AC的中點E，連接DC并延長交AB的延長線于點F．
（1）當∠A=16°，求∠F的大小；
（2）當⊙O的半徑為6，DE=4，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由垂徑定理得出OD⊥AC，$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，得出∠AOE=∠COE，求出∠AOE=∠COE=74°，由圓周角定理得出∠DCE=$\frac{1}{2}$∠AOE=37°，再由三角形的外角性質即可得出結果；
（2）求出OE=OD-DE=2，在Rt△OCE中，由勾股定理求出CE=4$\sqrt{2}$，在Rt△DCE中，由勾股定理求出CD即可．

解答 解：（1）如圖，連接OC，
∵E是AC的中點，
∴AE=CE，
∴OD⊥AC，$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，
∴∠AOE=∠COE，
∵∠BAC=16°，
∴∠AOE=∠COE=74°，
∴∠DCE=$\frac{1}{2}$∠AOE=37°，
∴∠F=∠DCE-∠BAC=37°-16°=21°；
（2）∵OC=OD=6，DE=4，
∴OE=OD-DE=2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、直角三角形的性質以及三角形的外角性質等知識；熟練掌握圓周角定理和勾股定理是解決問題的關鍵．