Question

8．若四邊形ABCD的對角線BD=AC，且AC與BD互相平分于點O，則四邊形ABCD是矩形，若∠AOB=60°，則AB：AC=1：2．

Answer 1

分析 首先證明四邊形ABCD是平行四邊形，由BD=AC，得出四邊形ABCD是矩形；得出∠ABC=90°，OA=OB=OC=OD，證明△AOB是等邊三角形，得出∠BAC=60°，∠ACB=30°，由直角三角形的性質得出AC=2AB，即可得出結果．

解答 解：如圖所示：
∵四邊形ABCD的對角線AC與BD互相平分，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵BD=AC，
∴四邊形ABCD是矩形；
∴∠ABC=90°，OA=OB=OC=OD，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∴AB：AC=1：2；
故答案為：矩，1：2．

點評 本題考查了平行四邊形的判定、矩形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、直角三角形的性質；熟練掌握矩形的判定與性質是解決問題的關鍵．