Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=10，點P是邊AB上任意一點，連接PC，∠CPB的平分線交BC于點D，過點D分別作PC、PB的垂線，垂足分別為點E、F，當△CED與△BDF相似時，AP的長為$\frac{5\sqrt{5}}{2}$或$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據勾股定理得到AB=5$\sqrt{5}$，根據角平分線的性質得到DE=DF，根據全等三角形的性質得到∠PDF=∠PDE，當△CED與△BDF相似，∠BDF=∠CDE時，根據等腰三角形和直角三角形的性質得到PA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，當△CED與△BDF相似，∠B=∠CDE時，推出DE∥AB，得到PC⊥AB，根據相似三角形的性質得到PA=$\sqrt{5}$，

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=10，
∴AB=5$\sqrt{5}$，
∵PD平分∠BPC，DF⊥PB，DE⊥PC，
∴DE=DF，
在Rt△PDF與Rt△PDE中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{PD=PD}\end{array}\right.$，
∴Rt△PDF≌Rt△PDE，
∴∠PDF=∠PDE，
當△CED與△BDF相似，∠BDF=∠CDE時，
∴∠BDP=∠CDP=90°，
∴PD⊥BC，
∴PC=PB，
∵∠B+∠A=∠BCP+∠ACP=90°，
∴∠A=∠PCA，
∴PC=PA，
∴PA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
當△CED與△BDF相似，∠B=∠CDE時，
∴DE∥AB，
∴PC⊥AB，
∴△ACP∽△ACB，
∴$\frac{AC}{PA}=\frac{AB}{AC}$，
∴PA=$\sqrt{5}$，
∴當△CED與△BDF相似時，AP的長為$\frac{5\sqrt{5}}{2}$或$\sqrt{5}$，
故答案為：$\frac{5\sqrt{5}}{2}$或$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的性質，角平分線的性質，全等三角形的判斷和性質，直角三角形的性質，熟練正確相似三角形的性質是解題的關鍵．