Question

6．已知：如圖1，在△AOB中，OA=AB=$\sqrt{5}$，BO=2，點B在x軸上，直線l₁：y=kx+3（k為常數，且k≠0）過點A，且與x軸、y軸分別交于點D，C，直線l₂：y=ax（a為常數，且a＞0）與直線l₁交于點P，且△DOP的面積為$\frac{15}{2}$．
（1）求直線l₁，l₂的解析式；
（2）如圖2，直線l₃∥y軸，與直線l₁，x軸分別交于點M，Q，且直線l₃與線段OA或線段OP交于點N．若點Q的橫坐標為m（-1＜m＜2），求△APN的面積S關于m的函數關系式．

Answer 1

分析 （1）首先求出點A的坐標，代入直線l₁的解析式求出k，再利用三角形的面積公式求出點P的縱坐標，可得點P坐標，利用待定系數法即可解決問題．
（2）如圖連接PN．分兩種情形①當-1＜m≤0時．②當0＜m＜2時．分別求解即可．

解答 解：（1）如圖1中，作AM⊥OB于M．

∵AB=AO=$\sqrt{5}$，OB=2，AM⊥OB，
∴BM=OM=1，
在Rt△AOM中，AM=$\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$=2，
∴A（-1，2），把A（-1，2）代入y=kx+3得到，2=-k+3，解得k=1，
∴直線l₁的解析式為y=x+3，
∴D（-3，0），設點P的坐標為（m，n），
由題意$\frac{1}{2}$×3×n=$\frac{15}{2}$，
解得n=5，
∴m+3=5，
解得m=2，
∴P（2，5），把P（2，5）代入y=ax，得到5=2a．解得a=$\frac{5}{2}$，
∴直線l₂的解析式為y=$\frac{5}{2}$x．

（2）如圖連接PN．

①當-1＜m≤0時，M（m，m+3），
∵直線OA的解析式為y=-2x，
∴N（m，-2m），
∴S=$\frac{1}{2}$•MN•（P_x-A_x）=$\frac{1}{2}$•（m+3+2m）•3=$\frac{9}{2}$m+$\frac{9}{2}$，
②當0＜m＜2時，N（m，$\frac{5}{2}$m），M（m，m+3），
∴S=$\frac{1}{2}$•MN•（P_x-A_x）=$\frac{1}{2}$•（m+3-$\frac{5}{2}$m）•3=-$\frac{9}{2}$m+$\frac{9}{2}$，
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}m+\frac{9}{2}}&{（-1＜m≤0）}\\{-\frac{9}{2}m+\frac{9}{2}}&{（0＜m＜2）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查一次函數綜合題、待定系數法、三角形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數表示有關線段，靈活應用三角形的面積公式，屬于中考壓軸題．