Question

7．如圖，AB是半圓O的直徑，D是弧BC的中點，四邊形ABCD的對角線AD、BC交于點E，AC、BD的延長線交于點F
（1）求證：△BDE∽△ADB；
（2）若AB=2$\sqrt{5}$，AD=4，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）由D是弧BC的中點，得到$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，求得∠BAD=∠DBE，根據相似三角形的判定定理即可得到結論；
（2）由AB是半圓O的直徑，得到AD⊥BF，BC⊥AF，根據勾股定理得到BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2，根據全等三角形的性質得到DF=BD=2，然后由相似三角形的性質即可得到結論．

解答 （1）證明：∵D是弧BC的中點，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BAD=∠DBE，
∵∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽△ADB；
（2）解：∵AB是半圓O的直徑，
∴AD⊥BF，BC⊥AF，
∵AB=2$\sqrt{5}$，AD=4，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2，
在△ABD與△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠BAD}\\{AD=AD}\\{∠ADF=∠ADB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AFD，
∴DF=BD=2，
∴BF=4，
∵∠BCF=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△BFC，
∴$\frac{AB}{BF}=\frac{BD}{CF}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{4}$=$\frac{2}{CF}$，
∴CF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．