Question

17．某校八年級舉行演講比賽，購買A，B兩種筆記本作為獎品，這兩種筆記本的單價分別為12元和8元．根據比賽設獎情況，需購買兩種筆記本共30本，并且購買A筆記本的數量要少于B筆記本數量的$\frac{2}{3}$，但又不少于B筆記本數量的$\frac{1}{3}$．設買A種筆記本n本，買兩種筆記本的總費用為W元．
（1）請寫出W（元）關于n（本）的函數關系式，并求出自變量n的取值范圍．
（2）購買這兩種筆記本各多少本時，花費最少？此時的花費是多少元？

Answer 1

分析 （1）根據題意可以求得w關于n的函數關系式，由購買A筆記本的數量要少于B筆記本數量的$\frac{2}{3}$，但又不少于B筆記本數量的$\frac{1}{3}$，可以確定n的取值范圍；
（2）根據（1）中的函數關系式可以求得w的最小值及此時購買的A和B種兩種筆記本的數量．

解答 解：（1）依題意得：w=12n+8（30-n）
即w=4n+240
且n＜$\frac{2}{3}$（30-n）和n≥$\frac{1}{3}$（30-n）
解得$\frac{15}{2}$≤n＜12
所以，w（元）關于n（本）的函數關系式為：w=4n+240
自變量n的取值范圍是$\frac{15}{2}$≤n＜12，n為整數；

（2）對于一次函數w=4n+240
∵w隨n的增大而增大，且$\frac{15}{2}$≤n＜12，n為整數
故當n為8時，w的值最小
此時，30-n=30-8=22，w=4×8+240=272（元）
因此，當買A種筆記本8本、B種筆記本22本時，所花費用最少，為272元．

點評 本題考查了一次函數的應用，一元一次不等式的應用．此題利用了（總花費=A種筆記本的單位價×A的數量+B種筆記本的單位價×B的數量），還用到了解不等式組以及一次函數的有關性質（當k＞0時，y隨x的增大而增大）．