Question

19．如圖，在正方形ABCD的對角線BD上取點E，使得∠BAE=75°，連接AE，CE，將線段CE繞點C順時針旋轉，使點E的對應點恰好落在AE延長線上的點F處．若AB=2，則AF的長為$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 根據正方形的性質得∠ABD=∠CBE=45°，BA=BC，則可計算出∠AEB=60°，再證明△BAE≌△BCE得到AE=CE，∠AEB=∠CEB=60°，接著利用旋轉的性質得∠CEF=60°，CE=CF，于是可判斷△CEF為等邊三角形，所以EF=CE=AE，作AH⊥BD于H，如圖，在Rt△ABH中利用等腰直角三角形的性質可計算出AH=$\sqrt{2}$，然后在Rt△AHE中利用正弦的定義可計算出AE=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，從而得到AF=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABD=∠CBE=45°，BA=BC，
而∠BAE=75°，
∴∠AEB=60°，
在△BAE和△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△BCE，
∴AE=CE，∠AEB=∠CEB=60°，
∵線段CE繞點C順時針旋轉，使點E的對應點恰好落在AE延長線上的點F處，
∴∠CEF=60°，CE=CF，
∴△CEF為等邊三角形，
∴EF=CE，
∴AF=2AE，
作AH⊥BD于H，如圖，
在Rt△ABH中，AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
在Rt△AHE中，∵sin∠AEH=$\frac{AH}{AE}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴AF=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
故答案為$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質．