Question

5．如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點B．C分別在邊AD、AF上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當△ABC繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由．
（2）當△ABC繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長BD交CF于點H．
①探究BD與CF之間的位置關系，并說明理由；
②當AB=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{3}+1$時，求線段DH的長．

Answer 1

分析 （1）結論：BD=CF．只要證明△ABD≌△ACF即可．
（2）①在利用“8字型”證明∠FHN=∠DAN=90°，即可解決問題．
②如圖4中，連接DF，延長AB，與DF交于點M．在Rt△ADM中，求出BM、DM，再利用勾股定理即可解決問題．

解答 （l）解：如圖2中，BD=CF成立．

理由：由旋轉得：AC=AB，∠CAF=∠BAD=θ；AF=AD，
在△ABD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF．

（2）①證明：如圖3中，

由（1）得，△ABD≌△ACF，
∴∠HFN=∠ADN，
∵∠HNF=∠AND，∠AND+∠AND=90°
∴∠HFN+∠HNF=90°
∴∠NHF=90°，
∴HD⊥HF，即BD⊥CF．

②如圖4中，連接DF，延長AB，與DF交于點M．

∵四邊形ADEF是正方形，
∴∠MDA=45°，
∵∠MAD=45°
∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°，
∴AM=DM，
∵AD=$\sqrt{3}$+1，
在△MAD中，AM²+DM²=AD²，
∴AM=DM=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∴MB=AM-AB=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△BMD中，BM²+DM²=BD²，
∴BD=$\sqrt{B{M}^{2}+D{M}^{2}}$=2．
在Rt△ADF中，AD=$\sqrt{3}$+1，
∴DF=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
由②知，HD⊥HF，
∴∠DHF=∠DMB=90°，
∵∠BDM=∠FDH，
∴△BDM∽△FDH，
∴$\frac{BD}{DF}=\frac{DM}{DH}$，
∴DH=$\frac{DF•DM}{BD}$=$\frac{（\sqrt{6}+\sqrt{2}）×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{2}$=2+$\sqrt{3}$．

點評 此題考查四邊形綜合題、正方形的性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．