Question

2．如圖，AB為⊙O的直徑，AB=4$\sqrt{3}$，點C為半圓AB上一動點，以BC為邊向⊙O外作正△BCD（點D在直線AB的上方），連接OD，則線段OD的長（　　）

• A． 隨點C的運動而變化，最大值為4
• B． 隨點C的運動而變化，最大值為4$\sqrt{3}$
• C． 隨點C的運動而變化，最小值為2
• D． 隨點C的運動而變化，但無最值

Answer 1

分析 方法一、先利用SSS判斷出△OCD≌△OBD，進而得出點C在運動過程中，∠BDO始終是30°，再構造出直角三角形ODF，即可判斷出點F和點B重合時，OF最大，即可得出OD的最大值．
方法二、先判斷出△COH是等邊三角形，得出HC=OC，∠OCH=60°，進而判斷出△OCD≌△HCB，即可得出OD=BH，由圓中最大的弦是直徑即可得出結論．

解答 解：如圖，連接OC，
∵△BCD是等邊三角形，
∴∠BDC=60°，CD=BD，
在△OCD和△OBD中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{OC=OB}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OBD（SSS），
∴∠BDO=∠CDO=$\frac{1}{2}$∠BDC=30°，
過點O作OF⊥BD于F，
在Rt△ODF中，∠BDO=30°，
∴OD=2OF，
當點C在運動的過程中，OD要最大，即OF最大，而OF_最大=OB，
∴OD_最大=2OF_最大=2OB=AB=4$\sqrt{3}$．
故選B．

方法二、如圖2，連接OC，
將△OCD繞點C順時針旋轉60°，則點D落在點B處，OD和⊙O相交于H，
連接OH，CH，
同方法一，得出∠ODC=30°，
∴∠CBH=30°，
∴∠COH=60°，
∴△COH是等邊三角形，
∴HC=OC，∠OCH=60°，
∵△BCD是等邊三角形，
∴CD=BC，∠BCD=60°，
∴∠OCD=∠HCB，
在△OCD和△HCB中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=HC}\\{∠OCD=∠HCB}\\{CD=BC}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△HCB（SAS），
∴OD=BH，
∵BH是⊙O的弦，
∴BH_最大=AB=4$\sqrt{3}$，
即：OD最大=4$\sqrt{3}$，
故選B．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了等邊三角形的性質和判定，全等三角形的判斷和性質，含30°的直角三角形的性質，解本題的關鍵是構造出直角三角形ODF，判斷出OF最大等于OB．