Question

17．如圖，在△ABC中，AB=4，D是AB上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，則$\frac{{{S_{△DEC}}}}{{{S_{△ABC}}}}$的最大值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)AD=x，$\frac{{{S_{△DEC}}}}{{{S_{△ABC}}}}$=y，求出$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{16}$x²①，$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△DEC}}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{x}{4-x}$②，①÷②即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式以及自變量x的取值范圍，于是得到y(tǒng)=$\frac{{{S_{△DEC}}}}{{{S_{△ABC}}}}$=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{4}$x=-$\frac{1}{16}$（x-2）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)AD=x，$\frac{{{S_{△DEC}}}}{{{S_{△ABC}}}}$=y，
∵AB=4，AD=x，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AD}{AB}$）²=（$\frac{x}{4}$）²，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{16}$x²①，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
∵AB=4，AD=x，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{x}{4}$，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{x}{4-x}$，
∵△ADE的邊AE上的高和△CED的邊CE上的高相等，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△DEC}}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{x}{4-x}$②，
①÷②得：
∴y=$\frac{{{S_{△DEC}}}}{{{S_{△ABC}}}}$=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{4}$x，
∵AB=4，
∴x的取值范圍是0＜x＜4；
∴y=$\frac{{{S_{△DEC}}}}{{{S_{△ABC}}}}$=-$\frac{1}{16}$（x-2）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{{S_{△DEC}}}}{{{S_{△ABC}}}}$的最大值為$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的計(jì)算方法，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．