Question

20．某企業生成一種節能產品，投放市場供不應求．若該企業每月的產量保持在一定的范圍，每套產品的生產成本不高于50萬元，每套產品的售價不低于120萬元．已知這種產品的月產量x（套）與每套的售價y₁（萬元）之間滿足關系式y₁=190-2x．月產量x（套）與生成總成本y₂（萬元）存在如圖所示的函數關系．
（1）直接寫出y₂（2）與x之間的函數關系式；
（3）求月產量x的取值范圍；
（4）當月產量x（套）為多少時，這種產品的利潤W（萬元）最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）根據題意可以設出y₂與x之間的函數關系式，然后根據圖象中的數據即可求得函數的解析式；
（2）根據題意可以列出相應的不等式組，從而可以求得x的取值范圍；
（3）根據題意可以得到W與x函數關系式，然后化為頂點式，再根據x的取值范圍，即可求得W的最大值．

解答 解：（1）設y₂與x的函數關系式為y₂=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{1400=30k+b}\\{1700=40k+b}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=30}\\{b=500}\end{array}\right.$，
∴y₂與x之間的函數關系式是y₂=30x+500；
（2）由題意可得，
$\left\{\begin{array}{l}{190-2x≥120}\\{\frac{30x+500}{x}≤50}\end{array}\right.$，
解得，25≤x≤35，
即月產量x的取值范圍是25≤x≤35；
（3）由題意可得，
W=x[190-2x-$\frac{30x+500}{x}$]=-2（x-40）²+2700，
∵25≤x≤35，
∴x=35時，W取得最大值，此時W=2650，
即當月產量x（套）為35套時，這種產品的利潤W（萬元）最大，最大利潤是2650萬元．

點評 本題考查二次函數的應用、一次函數的應用，一元一次不等式組的應用，解答此類題目的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用二次函數的頂點式求函數的最值，注意自變量的取值范圍．