Question

15．如圖①，在△ABC中，AB=AC，點D，E分別在邊BC、AC上，連接DE，且DE=DC．
（1）問題發現：若∠ABC=∠EDC=90°，則$\frac{AE}{BD}$=$\sqrt{2}$；
（2）拓展探究，若∠ABC=∠EDC=120°，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉到如圖②所示的位置，則$\frac{AE}{BD}$的大小有無變化？若不變，請加以證明；若變化，請求出$\frac{AE}{BD}$的值．
（3）問題解決：當△EDC旋轉到如圖③所示的位置時，若∠ABC=∠EDC=2α（0°＜α＜90°），則$\frac{AE}{BD}$的值為2sinα（用含a的式子表示）

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作EF⊥AB于F．首先證明四邊形BDEF是矩形，再證明在Rt△AEF中，根據tan∠A=$\frac{EF}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$即可解決問題．
（2）由△ABC∽△EDC，推出$\frac{BC}{DC}$=$\frac{AC}{CE}$，即$\frac{BC}{AC}$=$\frac{DC}{EC}$，推出△ACE∽△BCD，推出$\frac{AE}{BD}$=$\frac{EC}{DC}$，在△EDC中，過點D作DH⊥EC于點H，則EC=2CH，在Rt△CDH中，CH=CD•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD，推出EC=$\sqrt{3}$CD，即可解決問題．
（3）只要證明$\frac{AE}{BD}$=$\frac{EC}{DC}$=2sinα，即可，方法類似（2）．

解答 解：（1）如圖1中，作EF⊥AB于F．

∵∠FBD=∠BDE=∠EFB=90°，
∴四邊形BDEF是矩形，
∴EF=BD，
在Rt△AEF中，∵∠AFE=90°，∠A=45°，
∴tan∠A=$\frac{EF}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AE=$\sqrt{2}$EF，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\sqrt{2}$，
故答案為$\sqrt{2}$

（2）如圖2中，

由題意知，△ABC和△EDC都是等腰三角形，且∠ABC=∠EDC=120°，
∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，
∴△ABC∽△EDC，
∴$\frac{BC}{DC}$=$\frac{AC}{CE}$，即$\frac{BC}{AC}$=$\frac{DC}{EC}$，
又∠ECD+∠DCA=∠ACB+∠DCA，
∴∠DCB=∠ECA，
∴△ACE∽△BCD，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{EC}{DC}$，
在△EDC中，過點D作DH⊥EC于點H，則EC=2CH，
在Rt△CDH中，CH=CD•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD，
∴EC=$\sqrt{3}$CD．
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{EC}{DC}$=$\sqrt{3}$．
  
（3）如圖3中，

由題意知，△ABC和△EDC都是等腰三角形，且∠ABC=∠EDC=2α，
∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=90°-α，
∴△ABC∽△EDC，
∴$\frac{BC}{DC}$=$\frac{AC}{CE}$，即$\frac{BC}{AC}$=$\frac{DC}{EC}$，
又∠ECD+∠DCA=∠ACB+∠DCA，
∴∠DCB=∠ECA，
∴△ACE∽△BCD，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{EC}{DC}$，
在△EDC中，過點D作DH⊥EC于點H，則EC=2CH，∠CDH=∠HDE=α，
在Rt△CDH中，CH=CD•sinα，
∴EC=2CD•sinα．
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{EC}{DC}$=2sinα，
故答案為2sinα

點評 本題課程是三角形綜合題、等腰直角三角形的性質、等腰三角形的性質、銳角三角函數、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用相似三角形的判定和性質解決問題，屬于中考常考題型．