Question

3．如圖，拋物線y=x²+bx+c經過點A（-1，0），B（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E（2，m）在拋物線上，拋物線的對稱軸與x軸交于點H，點F是AE中點，連接FH，求線段FH的長；
（3）P為AE下方拋物線上的點，當△AEP的面積最大時，求P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）由于拋物線y=x²+bx+c經過A（-1，0），B（3，0）兩點，根據待定系數法可求拋物線的解析式；
（2）先得到點E（2，-3），根據勾股定理可求BE，再根據直角三角形的性質可求線段HF的長；
（3）先確定出直線AE解析式，設出點P的坐標，進而表示出點G的坐標，用三角形的面積的計算方法建立函數關系式，即可確定出最大值．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c經過點A（-1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-2}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）∵點E（2，m）在拋物線上，
∴m=4-4-3=-3，
∴E（2，-3），
∴BE=$\sqrt{（3-2）^{2}+（0+3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵點F是AE中點，拋物線的對稱軸與x軸交于點H，即H為AB的中點，
∴FH是三角形ABE的中位線，
∴FH=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$；

（3）如圖，

過點P作PG∥y軸交AE于G，連接AP，PE，
由（2）知，E（2，-3），
∵A（-1，0），
∴直線OE的解析式為y=-x-1
設P（n，n²-2n-3），（-1＜n＜2）
∴G（n，-n-1），
∴PG=-n-1-（n²-2n-3）=-n²+n+2，
∴S_△APE=S_△APG+S_△EPG
=$\frac{1}{2}$PG•|x_P-x_A|+$\frac{1}{2}$PG•|x_E-x_P|
=$\frac{1}{2}$PG（x_P-x_A+x_E-x_P）
=$\frac{1}{2}$PG×（x_E-x_A）
=$\frac{1}{2}$（-n²+n+2）（2+1）
=-$\frac{3}{2}$（n²-n-2）
=-$\frac{3}{2}$（n-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴當n=$\frac{1}{2}$時，S_△APE=$\frac{27}{8}$，此時，P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

點評 此題考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：待定系數法求拋物線的解析式，勾股定理，直角三角形的性質，三角形面積的計算，方程思想的應用，綜合性較強，有一定的難度．