Question

16．正方形ABCD的邊長為1，其面積記為S₁，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為S₂，…按此規律繼續下去，則S₉的值為（　　）

• A． ${（{\frac{1}{2}}）^9}$
• B． ${（{\frac{1}{2}}）^8}$
• C． ${（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）^9}$
• D． ${（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）^8}$

Answer 1

分析 根據等腰直角三角形的性質可得出S₂+S₂=S₁，寫出部分S_n的值，根據數的變化找出變化規律S_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，依此規律即可得出結論．

解答 解：在圖中標上字母E，如圖所示．

∵正方形ABCD的邊長為1，△CDE為等腰直角三角形，
∴DE²+CE²=CD²，DE=CE，
∴S₂+S₂=S₁．
觀察，發現規律：S₁=1²=1，S₂=$\frac{1}{2}$S₁=$\frac{1}{2}$，S₃=$\frac{1}{2}$S₂=$\frac{1}{4}$，S₄=$\frac{1}{2}$S₃=$\frac{1}{8}$，…，
∴S_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1．
當n=9時，S₉=（$\frac{1}{2}$）^9-1=（$\frac{1}{2}$）⁸，
故選：B．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質、勾股定理以及規律型中數的變化規律，解題的關鍵是找出規律S_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，寫出部分S_n的值，根據數值的變化找出變化規律是關鍵．