Question

10．如圖，正方形ABCD的邊長為2，以BC為邊向正方形內作等邊△BCE，連接AE、DE．
（1）請直接寫出∠AEB的度數，∠AEB=75°；
（2）將△AED沿直線AD向上翻折，得△AFD．求證：四邊形AEDF是菱形；
（3）連接EF，交AD于點 O，試求EF的長？

Answer 1

分析 （1）由正方形和等邊三角形的性質得出∠ABE=30°，AB=BE，由等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可求出∠AEB的度數；
（2）先判斷出△ABE≌△DCE，得到AE=ED，再由翻折的性質即可得出結論；
（3）先由等邊三角形的性質求出EH，進而得出OE，借助（2）的結論即可求出EF．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD，
∵△EBC是等邊三角形，
∴BE=BC，∠EBC=60°，
∴∠ABE=90°-60°=30°，AB=BE，
∴∠AEB=∠BAE=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°；
故答案為75°；
（2）∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD，
∵△BCE為等邊三角形，
∴∠BCE=∠EBC=60°，BE=EC，
∴∠ABE=∠DCE=90°-60°=30°，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=ED，
∵△AED沿著AD翻折為△AFD，
∴AE=ED=AF=FD，
∴四邊形AEDF是菱形；
（3）如圖，

由翻折知，AE=AF，∠FAO=∠EAO，
∴EF⊥AD，過點E作EH⊥BC于H，
在等邊三角形BCE中，BC=2，
∴EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴EO=OH-EH=AB-EH=2-$\sqrt{3}$，
∴EF=2EO=2（2-$\sqrt{3}$）=4-2$\sqrt{3}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，翻折性質，菱形的判定和性質，解（2）的關鍵是判斷出AE=ED，解（3）的關鍵是作出輔助線求出EH．是一道中等難度的中考常考題．