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10.如圖,正方形ABCD的邊長為2,以BC為邊向正方形內作等邊△BCE,連接AE、DE.
(1)請直接寫出∠AEB的度數,∠AEB=75°;
(2)將△AED沿直線AD向上翻折,得△AFD.求證:四邊形AEDF是菱形;
(3)連接EF,交AD于點 O,試求EF的長?

分析 (1)由正方形和等邊三角形的性質得出∠ABE=30°,AB=BE,由等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可求出∠AEB的度數;
(2)先判斷出△ABE≌△DCE,得到AE=ED,再由翻折的性質即可得出結論;
(3)先由等邊三角形的性質求出EH,進而得出OE,借助(2)的結論即可求出EF.

解答 解:(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=CD,
∵△EBC是等邊三角形,
∴BE=BC,∠EBC=60°,
∴∠ABE=90°-60°=30°,AB=BE,
∴∠AEB=∠BAE=$\frac{1}{2}$(180°-30°)=75°;
故答案為75°;
(2)∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠ABC=∠BCD=90°,AB=CD,
∵△BCE為等邊三角形,
∴∠BCE=∠EBC=60°,BE=EC,
∴∠ABE=∠DCE=90°-60°=30°,
∴△ABE≌△DCE,
∴AE=ED,
∵△AED沿著AD翻折為△AFD,
∴AE=ED=AF=FD,
∴四邊形AEDF是菱形;
(3)如圖,

由翻折知,AE=AF,∠FAO=∠EAO,
∴EF⊥AD,過點E作EH⊥BC于H,
在等邊三角形BCE中,BC=2,
∴EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\sqrt{3}$,
∴EO=OH-EH=AB-EH=2-$\sqrt{3}$,
∴EF=2EO=2(2-$\sqrt{3}$)=4-2$\sqrt{3}$.

點評 此題是四邊形綜合題,主要考查了等邊三角形的性質,全等三角形的判定和性質,翻折性質,菱形的判定和性質,解(2)的關鍵是判斷出AE=ED,解(3)的關鍵是作出輔助線求出EH.是一道中等難度的中考常考題.

練習冊系列答案
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20.隨著人們的生活水平的提高,家用轎車越來越多地進入家庭.小明家中買了一輛小轎車,他連續記錄了7天中每天行駛的路程(如下表),以50km為標準,多于50km的記為“+”,不足50km的記為“-”,剛好50km的記為“0”.
第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天
路程(km)-8-11-140-16+41+8
(1)請你用所學的統計知識,估計小明家一個月(按30天計)要行駛多少千米?
(2)若每行駛100km需用汽油8升,現行97號汽油價格每升7.66元,請求出小明家一年(按12個月計算)的汽油費用是多少元?

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①探究BD與CF之間的位置關系,并說明理由;
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3.今年的北京奧運會期間,有8人乘坐速度相同的兩輛小汽車同時趕往奧運場館觀看籃球比賽,每輛車乘4人(不包括司機).其中一輛小汽車在距離場館15km的地方出現故障,此時距比賽開始的時間還有42分鐘.這時唯一可以利用的交通工具是另一輛小汽車,且這輛車的平均速度是60km/h,人步行的平均速度是5km/h(上、下車時間忽略不計).試設計兩種方案,通過計算說明這8個人能夠在比賽前趕到場館.

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(3)OH=$\frac{1}{2}$AE (4)BC-BF=$\sqrt{2}$EH
其中正確命題的序號(  )
A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(2)(4)D.(1)(3)

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