Question

15．在平面直角坐標系中，$A（6\sqrt{3}，0），B（0，6）$，動點M從點O開始沿OA以$\sqrt{3}$cm/s的速度向點A移動，動點N從點A開始沿AB以2cm/s的速度向點B移動．如果M，N分別從O，A同時移動，移動時間為t（0＜t＜6）．
（1）∠OAB=30度；
（2）求經(jīng)過A，B兩點的直線表達式；
（3）是否存在△AMN為等腰三角形？若存在，求出相應的t值；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△AOB中，求出tan∠OAB的值，即可解決問題．
（2）設直線AB的表達式為y=kx+b，把$A（6\sqrt{3}，0），B（0，6）$代入轉化為解方程組解決問題．
（3）存在．分三種情形：①當AM=AN時，②當NA=MN時，③當MA=MN時，分別列出方程解決問題．

解答 解：（1）∵$A（6\sqrt{3}，0），B（0，6）$，
∴OA=6$\sqrt{3}$，OB=6，
∴tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{6}{6\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAB=30°，
故答案為30．

（2）設直線AB的表達式為y=kx+b，
把$A（6\sqrt{3}，0），B（0，6）$代入上式得$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{6\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+6．

（3）存在．分三種情形：
①當AM=AN時，6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t=2t，
解得t=12$\sqrt{3}$-18，

②當NA=MN時，$\sqrt{3}$t=$\frac{6\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{2}$，
解得t=2，

③當MA=MN時，$\frac{6\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{2}$•$\sqrt{3}$=t，
解得t=3.6，
綜上所述，當t=12$\sqrt{3}$-18或2或3.6s時，△AMN是等腰三角形．

點評 本題考查三角形綜合題、銳角三角函數(shù)、等腰三角形的判定和性質，一元一次方程等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會用分類討論的思想思考問題，把問題轉化為方程解決，屬于中考常考題型．