Question

3．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，試判斷BC和AC、AD之間的數量關系．
小明發現，利用軸對稱做一個變化，在BC上截取CA′=CA，連接DA′，得到一對全等的三角形，從而將問題解決（如圖2）．請回答：
（1）BC和AC、AD之間的數量關系并證明．
（2）參考上述思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9．求AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據SAS證明△ADC≌△A′DC，根據△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A=60°，得∠CDA′=∠CDA=75°，得∠BDA′=30°=∠B，則DA′=BA′，BA′=AD，從而得出BC=AC+AD．
（2）在AB上截取AE=AD，連接CE，先證明△ADC≌△AEC，得出AE=AD=9，CE=CD=10=BC，過點C作CF⊥AB于點F，設EF=BF=x；在Rt△CFB和Rt△CFA中，根據勾股定理求出x，即可得出結果．

解答 解：（1）BC=AC+AD；   
證明：如圖2，∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠A′CD，
在△ADC和△A′DC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA′=CA}\\{∠ACD=∠A′CD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△A′DC（SAS）；        
∴DA′=DA，∠CA′D=∠A=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=30°，
∵∠CA′D=∠B+∠BDA′，
∴∠BDA′=30°=∠B，
∴DA′=BA′，
∴BA′=AD，
∴BC=CA′+BA′=AC+AD；       

（2）如圖3，在AB上截取AE=AD，連接CE，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠EAC．
在△AEC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA′=CA}\\{∠DAC=∠EAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AEC（SAS），
∴AE=AD=9，CE=CD=10=BC，
如圖，過點C作CF⊥AB于點F，
∴EF=BF，
設EF=BF=x．
在Rt△CFB中，∠CFB=90°，由勾股定理得CF²=CB²-BF²=10²-x²，
在Rt△CFA中，∠CFA=90°，由勾股定理得CF²=AC²-AF²=17²-（9+x）²．
∴10²-x²=17²-（9+x）²，
解得：x=6，
∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，
∴AB的長為21．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理、等腰三角形的判定與性質的綜合應用，解題時需要通過作輔助線構造全等三角形，根據全等三角形的對應邊相等才能得出結果．