Question

11．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是邊AC上任意一點（點E與點A，C不重合），以CE為一直角邊作Rt△ECD，∠ECD=90°，連接BE，AD．若Rt△ABC和Rt△ECD是等腰直角三角形，
（1）猜想線段BE，AD之間的數量關系及所在直線的位置關系，直接寫出結論；
（2）現將圖1中的Rt△ECD繞著點C順時針旋轉n°，得到圖2，請判斷①中的結論是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由CA=CB，CE=CD，∠ACB=90°易證△BCE≌△ACD，所以BE=AD，∠BEC=∠ADC，又因為∠EBC+∠BEC=90°，所以∠EBC+∠ADC=90°，即BE⊥AD；
（2）成立．設BE與AC的交點為點F，BE與AD的交點為點G，易證△ACD≌△BCE．得到AD=BE，∠CAD=∠CBE．再根據等量代換得到∠AFG+∠CAD=90°．即BE⊥AD．

解答 解：（1）BE=AD，BE⊥AD；
在△BCE和△ACD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACB=∠ACD=90°}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，
∵∠EBC+∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ADC=90°，
∴BE⊥AD．

（2）BE=AD，BE⊥AD仍然成立；
設BE與AC的交點為點F，BE與AD的交點為點G，如圖，

∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE．
∵∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90°，
∴∠AFG+∠CAD=90°．
∴∠AGF=90°．
∴BE⊥AD．

點評 本題主要考查了旋轉的性質、三角形全等的性質和判定，解題的關鍵是要正確判斷等腰直角△ECD經過旋轉后，與圖形構成的兩個三角形全等．