Question

16．在等邊△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC的延長線上，DE=DA（如圖1）
（1）求證：∠BAD=∠EDC；
（2）點E關于直線BC的對稱點為M，連接DM，AM．
①依題意將圖2補全；
②小姚通過觀察，實驗提出猜想：在點D運動的過程中，始終有DA=AM，小姚把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：
想法1：要證明DA=AM，只需證△ADM是等邊三角形；
想法2：連接CM，只需證明△ABD≌△ACM即可．
請你參考上面的想法，幫助小姚證明DA=AM（一種方法即可）

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形的性質，得出∠E=∠DAC，根據等邊三角形的性質，得出∠BAD+∠DAC=∠E+∠EDC=60°，據此可得出∠BAD=∠EDC；
（2）①根據軸對稱作圖即可；②想法1：要證明DA=AM，只需根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，證△ADM是等邊三角形；想法2：連接CM，只需根據ASA證明△ABD≌△ACM即可．

解答 解：（1）如圖1，∵DE=DA，
∴∠E=∠DAC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACD=60°，
即∠BAD+∠DAC=∠E+∠EDC=60°，
∴∠BAD=∠EDC；

（2）①補全圖形如圖2；
②證法1：由軸對稱可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，
∵DE=DA，
∴DM=DA，
由（1）可得，∠BAD=∠EDC，
∴∠MDC=∠BAD，
∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°-∠B=120°，
∴∠MDC+∠ADB=120°，
∴∠ADM=180°-120°=60°，
∴△ADN是等邊三角形，
∴AD=AM；

證法2：連接CM，
由軸對稱可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，
∵DE=DA，
∴DM=DA，
由（1）可得，∠BAD=∠EDC，
∴∠MDC=∠BAD，
∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°-∠B=120°，
∴∠MDC+∠ADB=120°，
∴∠ADM=180°-120°=60°，
∴△ADM中，∠DAM=（180°-60°）÷2=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAM，
由軸對稱可得，∠DCE=∠DCM=120°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°-60°=60°，
∴∠B=∠ACM，
在△ABD和△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CAM}\\{AB=AC}\\{∠B=∠ACM}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACM（ASA），
∴AD=AM．

點評 本題屬于三角形的綜合題，主要考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、軸對稱變換以及三角形外角性質等知識的綜合應用．根據題目條件構造相應的全等三角形是解第（2）題的關鍵，解題時注意運用等邊三角形的三個內角都等于60°，三條邊都相等．