Question

7．如圖，在平面直角坐標系中，A（-8，0），B（0，-8），D為直線AB上一點，且D點橫坐標為-2，y軸上有一動點P，直線l經過D、P兩點．
（1）求直線AB的表達式和D點坐標；
（2）當∠ADP=75°時，求點P坐標；
（3）在直線l上取點Q（Q點位于第一象限，且橫、縱坐標之積恰為12），現過點Q作QM⊥y軸于M，QN⊥x軸于N．問：是否存在點P，使得直線DQ分長方形ONQM為兩部分，其中所分成的三角形面積是△PDB面積的一半．若存在，直接寫出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據A（-8，0），B（0，-8），運用待定系數法求得直線AB的表達式，再根據D為直線AB上一點，且D點橫坐標為-2，求得D點坐標；
（2）當∠ADP=75°時，過點D作DC⊥y軸于點C，根據條件求得∠CPD=30°，得出DP=2CD=4，再根據勾股定理得到CP=2$\sqrt{3}$，最后根據OP=OB-PC-BC=8-2$\sqrt{3}$-2=6-2$\sqrt{3}$，即可得出P（0，2$\sqrt{3}$-6）；
（3）存在點P（0，-4）或（0，$\sqrt{73}$-7）．需要分兩種情況：①當直線l經過第一、三、四象限時，②當直線l經過第一、二、三象限時，分別根據待定系數法求得直線l表達式為y=$\frac{6}{m}$x+（$\frac{12}{m}-6$），軸對稱直線l與坐標軸的交點坐標，最后根據所分成的三角形面積是△PDB面積的一半，列出方程進行計算即可得出m的值，進而得到P點坐標．

解答 解：（1）設直線AB解析式為y=kx+b，
把A（-8，0），B（0，-8）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{0=-8k+b}\\{-8=b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴直線AB的表達式為y=-x-8，
∵D為直線AB上一點，且D點橫坐標為-2，
∴當x=-2時，y=2-8=-6，
∴D（-2，-6）；

（2）當∠ADP=75°時，如圖1，過點D作DC⊥y軸于點C，
∵A（-8，0），B（0，-8），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠DBC=45°，OB=8，
∴∠BDC=45°，
∴∠CDP=180°-∠ADP-∠BDC=180°-75°-45°=60°，CD=CB=2，
∴Rt△CDP中，∠CPD=30°，
∴DP=2CD=4，
∴CP=2$\sqrt{3}$，
∴OP=OB-PC-BC=8-2$\sqrt{3}$-2=6-2$\sqrt{3}$，
∵點P在y軸負半軸上，
∴P（0，2$\sqrt{3}$-6）；

（3）存在點P（0，-4）或（0，$\sqrt{73}$-7），使得直線DQ分長方形ONQM為兩部分，其中所分成的三角形面積是△PDB面積的一半．
分兩種情況：
①如圖1所示，當直線l經過第一、三、四象限時，設l與x軸交于點E，
∵Q點位于第一象限，且橫、縱坐標之積恰為12，
∴可設Q（m，$\frac{12}{m}$），
設直線l表達式為y=k'x+b'，
把D（-2，-6）和Q（m，$\frac{12}{m}$）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-6=-2k'+b'}\\{\frac{12}{m}=mk'+b'}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k'=\frac{6}{m}}\\{b'=\frac{12}{m}-6}\end{array}\right.$，
∴直線l表達式為y=$\frac{6}{m}$x+（$\frac{12}{m}-6$），
令x=0，則y=$\frac{12}{m}-6$，即P（0，$\frac{12}{m}-6$），此時BP=$\frac{12}{m}-6$-（-8）=$\frac{12}{m}$+2，
令y=0，則x=m-2，即E（m-2，0），此時NE=m-（m-2）=2，
∵△NQE面積是△PDB面積的一半，
∴$\frac{1}{2}$×NE×NQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$BP×DC，
∴$\frac{1}{2}$×2×$\frac{12}{m}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（$\frac{12}{m}$+2）×2，
解得m=6，
∴P（0，-4）；

②如圖2所示，當直線l經過第一、二、三象限時，
同理可得P（0，$\frac{12}{m}-6$），
此時BP=$\frac{12}{m}-6$-（-8）=$\frac{12}{m}$+2，MP=$\frac{12}{m}$-（$\frac{12}{m}-6$）=6，
∵△MQP面積是△PDB面積的一半，
∴$\frac{1}{2}$×MP×MQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$BP×DC，
∴$\frac{1}{2}$×6×m=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（$\frac{12}{m}$+2）×2，
解得m=$\frac{1±\sqrt{73}}{6}$，
又∵m＞0，
∴m=$\frac{1+\sqrt{73}}{6}$，
∴$\frac{12}{m}-6$=$\sqrt{73}$-7，
∴P（0，$\sqrt{73}$-7）．

點評 本題屬于一次函數綜合題，主要考查了一次函數的圖象與性質，待定系數法求函數解析式，三角形的面積以及勾股定理的綜合應用，解決第（3）問的關鍵是畫出圖形，運用分類思想和方程思想進行求解．