Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），將線段BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC，連接AC．
（1）當(dāng)點(diǎn)B在y軸的正半軸上時(shí)，在圖1中畫(huà)出△ABC并求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含b的式子表示）；
（2）畫(huà)圖探究：當(dāng)點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)且滿足-2≤b≤5時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑形成什么圖形．
①在圖2中畫(huà)出該圖形；
②描述該圖形的特征；
③利用圖3簡(jiǎn)要證明以上結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）如圖，作CD⊥y軸于D．先證明△ABO≌△BCD，推出BO=CD=b，OA=BD=4，推出OD=4+b，由此即可解決問(wèn)題．
（2）①因?yàn)镃（-b，4+b），所以點(diǎn)C在直線y=x+4上，圖中的線段C₁C₂即為點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡．
②點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段C₁C₂，線段的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)C₂（-5，9），C₁（2，2）．
③先求出∠DGC=45°，進(jìn)而得出C₁，C₂的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）如圖1，作CD⊥y軸于點(diǎn)D．

由題意可得AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠DBC+∠OBA=90°．
∵∠AOB=∠BDC=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°．
∴∠OAB=∠DBC．
∴△OAB≌△DBC．
∴OB=DC，OA=DB．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），點(diǎn)B在y軸的正半軸上，
∴OA=4，OB=b．
∴OD=OB+BD=b+4，CD=OB=b．
由題意知點(diǎn)C在第二象限，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-b，b+4）．
（2）①畫(huà)圖如圖2．

②線段C₁C₂，其中C₁，C₂兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C₁（2，2），C₂（-5，9），
線段C₁C₂所在直線與y軸所夾的銳角為45°．
③簡(jiǎn)要證明過(guò)程：如圖3，

設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為G（0，4），點(diǎn)H的坐標(biāo)為H（4，0），可
得∠OGH=45°．
任取滿足題意的點(diǎn)B（0，b）（其中-2≤b≤5），作出相應(yīng)的線段BC和線段AC，作CD⊥y軸于點(diǎn)D．
由點(diǎn)G（0，4）可得OG=4=OA．
同（1）可得OB=CD，AO=BD．
所以 CD=OB=OD-BD=OD-OA=OD-OG=DG．
由CD⊥y軸于點(diǎn)D可得∠DGC=45°．
所以無(wú)論點(diǎn)B在y軸上如何運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)時(shí)總落在直線GH上．
而點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)滿足-2≤b≤5時(shí)，
此時(shí)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑是這條直線上的一部分，是線段C₁C₃（見(jiàn)圖2），
其中與點(diǎn)B₁（0，-2）對(duì)應(yīng)的端點(diǎn)為C₁（2，2）；與點(diǎn)B₂（0，5）對(duì)應(yīng)的端點(diǎn)為C₂（-5，9）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換、軌跡、一次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足直線y=x+4，由此判斷出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，本題比較難，屬于中考常考題型．