Question

17．如圖，在四邊形ABCD中，△ABC是等邊三角形，∠ADC=∠ABC，若AD=3，BC=7，則線段BD的長為$\sqrt{97}$．

Answer 1

分析 先延長DA，作∠ABH=∠CAD，交DA的延長線于H，過B作BF⊥AH于F，根據△ACD≌△BAN，得出∠H=∠ADC=60°，BH=AD=3，由勾股定理可得，AF=$\frac{13}{2}$，進而得到DF的長，最后在Rt△BDF中，根據勾股定理求得BD的長．

解答 解：延長DA，作∠ABH=∠CAD，交DA的延長線于H，過B作BF⊥AH于F，
根據∠ADC=∠BAC=60°，可得∠ACD=∠BAH，
又∵AC=BA，∠CAD=∠ABH，
∴△ACD≌△BAN，
∴∠H=∠ADC=60°，BH=AD=3，
∴Rt△BFH中，FH=$\frac{3}{2}$，BF=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
又∵AB=BC=7，
∴由勾股定理可得，AF=$\frac{13}{2}$，
∴DF=AD+AF=3+$\frac{13}{2}$=$\frac{19}{2}$，
∴Rt△BDF中，BD=$\sqrt{D{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{19}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{97}$．
故答案為：$\sqrt{97}$．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形和直角三角形，依據勾股定理進行計算求解．