Question

2．在⊙O中，直徑AB⊥CD于點G（CD為非直徑弦），P是⊙O上一動點（不考慮點P與C，D重合的情況）
（1）當點P在$\widehat{DAC}$上時，求證：∠CPD=∠COB；
（2）當點P運動到什么位置時，△CPD∽△BOC？請說明理由；
（3）在（2）的情況下，當∠COB=30°，求$\frac{tan15°}{2-\sqrt{3}}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接PB，由垂徑定理和圓周角定理即可證明∠CPD=∠COB；
（2）當點P運動到點A時△CPD∽△BOC，連接AD，AC根據圓周角定理證明∠PDC=∠OBC即可；
（3）由已知條件可知∠BAC=15°，設CG=x，在直角三角形AGC中，求出tan15°的值，即可求出$\frac{tan15°}{2-\sqrt{3}}$的值．

解答 解：
（1）證明：連接PB，
∵直徑AB⊥CD于點G（CD為非直徑弦），
∴$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∴∠BPC=∠BPD，
∴∠DPC=2∠BPC，
∵∠COB=2∠BPC，
∴∠CPD=∠COB；

（2）當點P運動到點A時△CPD∽△BOC，理由如下：
連接AD，AC，
∵直徑AB⊥CD于點G，
∴DG=CG，
∴AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
又∵∠ADC=∠OBC，
∴∠ADC=∠ACD=∠OBC=∠OCB，
∴△CPD∽△BOC；
（3）∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠COB=30°，
∴∠OAC=15°，
設CG=x，
∵直徑AB⊥CD于點G，∠COB=30°，
∴OC=OA=2x，
∴OG=$\sqrt{3}$x，
在直角三角形AGC中，tan15°=$\frac{CG}{AG}=\frac{x}{\sqrt{3}x+2x}$=2-$\sqrt{3}$，
∴$\frac{tan15°}{2-\sqrt{3}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$=1．

點評 本題考查了和圓有關的綜合性題目，用到的知識點有垂徑定理、圓周角定理、等腰三角形的判斷和性質、相似三角形的判斷和性質以及銳角三角函數的定義，正確求出tan15°的值是解題的關鍵．