Question

7．如圖，正△ABC的邊長為2，以BC邊上的高AB₁為邊作正△AB₁C₁，△ABC與△AB₁C₁公共部分的面積記為S₁；再以正△AB₁C₁邊B₁C₁上的高AB₂為邊作正△AB₂C₂，△AB₁C₁與△AB₂C₂公共部分的面積記為S₂；…，以此類推，那么S₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{3}{4}$）³，則S_n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{3}{4}$）ⁿ．（用含n的式子表示）

Answer 1

分析 由AB₁為邊長為2的等邊三角形ABC的高，利用三線合一得到B₁為BC的中點，求出BB₁的長，利用勾股定理求出AB₁的長，進而求出S₁，同理求出S₂，依此類推，得到S_n．

解答 解：∵等邊三角形ABC的邊長為2，AB₁⊥BC，
∴BB₁=1，AB=2，
根據勾股定理得：AB₁=$\sqrt{3}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\sqrt{3}$）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{3}{4}$）¹；
∵等邊三角形AB₁C₁的邊長為$\sqrt{3}$，AB₂⊥B₁C₁，
∴B₁B₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB₁=$\sqrt{3}$，
根據勾股定理得：AB₂=$\frac{3}{2}$，
∴S₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\frac{3}{2}$）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{3}{4}$）²；
依此類推，S_n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{3}{4}$）ⁿ；
∴S₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{3}{4}$）³，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{3}{4}$）³，$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{3}{4}$）ⁿ．

點評 此題考查了等邊三角形的性質，屬于規律型試題，熟練掌握等邊三角形的性質是解本題的關鍵．