Question

12．如圖．在正方形ABCD中，點E，F分別為DC，CB延長線上的點．且滿足∠EAF=45°，∠BAF=15°，連接EF，求證：DE-BF=EF．

Answer 1

分析 在DE上取一點G，使DG=BF，根據正方形的性質求出∠D=∠ABC=∠ABF=90°，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△ADG全等，根據全等三角形對應角相等可得，∠DAG=∠BAF=15°，全等三角形對應邊相等可得AG=AF，然后求出∠BAE的度數以及∠GAE的度數，根據度數求出∠GAE=∠FAE=45°，再利用“邊角邊”證明△AFE和△AGE全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=GE，然后根據圖形邊的關系進行等量代換即可得解．

解答 證明：在DE上取一點G，使DG=BF，
在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=∠ABF=90°，
在△ABF和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BF}\\{∠D=∠ABF=90°}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADG（SAS），
∴∠DAG=∠BAF=15°，AG=AF，
∵∠EAF=45°，∠BAF=15°，
∴∠BAE=∠EAF-∠BAF=45°-15°=30°，
∴∠GAE=90°-15°-30°=45°，
∴∠GAE=∠FAE=45°，
在△AFE和△AGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAE=∠FAE=45°}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AGE（SAS），
∴EF=GE，
∴EF+BF=EG+DG=DE，
∴DE-BF=EF．

點評 本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，題目比較復雜，需要利用二次全等進行證明，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．