Question

9．AB是圓的一條弦，它將圓分成兩部分，M、N分別是兩段弧的中點，以點B旋轉中心將弓形AMB順時針旋轉一個角度成弓形A₁MB、A₁A的中點為P，MN的中點為Q．
求證：MN=2PQ．

Answer 1

分析 設弦AB是⊙O的弦，連接NO，由此NO交AB于D，交⊙O于C，連接CA、CB、CM、BM，只要證明△PNM∽△ANC，即可推出∠MPN=90°，由此即可解決問題．

解答 證明：設弦AB是⊙O的弦，連接NO，由此NO交AB于D，交⊙O于C，連接CA、CB、CM、BM．
∵$\widehat{AN}$=$\widehat{BN}$，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD，$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∵$\widehat{{A}_{1}M}$=$\widehat{BM}$=$\widehat{BC}$，
∴BC=BM，
∵弓形AMB順時針旋轉一個角度成弓形A₁MB，
∴AB=BA₁，∠ABA₁=∠CBM，
∴△BCM∽△BAA₁，
∴∠MCB=∠A₁AB，$\frac{CM}{A{A}_{1}}$=$\frac{BC}{BA}$，
∵∠BAN=∠BCN，
∴∠PAN=∠MCN，
∵PA=PA₁，
∴$\frac{CM}{A{A}_{1}}$=$\frac{CM}{2AP}$=$\frac{BC}{BA}$=$\frac{BC}{2BD}$，
∴$\frac{CM}{AP}$=$\frac{BC}{BD}$，
∵∠CDB=∠CAN=90°，∠CBD=∠ANC，
∴△DBC∽△ANC，
∴$\frac{BC}{BD}$=$\frac{NC}{NA}$，
∴$\frac{CM}{AP}$=$\frac{NC}{AN}$，
∴△APN∽△CMN，
∴$\frac{MN}{PN}$=$\frac{CN}{AN}$，∠CNM=∠PNA，
∴∠MNP=∠DNA，
∴△PNM∽△ANC，
∴∠NPM=∠NAC=90°，
∵MQ=QN，
∴PQ=QM=QN，
∴MN=2PQ．

點評 本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質、垂徑定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，本題的難點多次證明相似三角形，熟練掌握兩邊成比例夾角相等兩三角形相似這個判定定理，屬于中考壓軸題．