Question

19．如圖①，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)l₁：y₁=ax+b的圖象經(jīng)過點A和B，其中點B的坐標是（0，6），∠OAB=45°，一次函數(shù)l₂：y₂=-$\frac{1}{3}$x的圖象與l₁相交于點C．
（1）求一次函數(shù)l₂：y₁=ax+b的解析式，并求y₁＞y₂時x的取值范圍；
（2）如圖②，分別過A、B兩點作直線l₂的垂線，垂足為E、F，判斷線段AE、BF、EF三者之間存在的數(shù)量關系？并說明理由．
（3）設一次函數(shù)l₃：y₃=kx（k＞0），分別過A、B兩點作直線l₃的垂線，垂足為E、F，判斷線段AE、BF、EF三者之間存在的數(shù)量關系，請直接寫出結果．

Answer 1

分析 （1）由點B的坐標是（0，6）、∠OAB=45°知OA=OB=6，即點A坐標為（6，0），根據(jù)點A、B坐標利用待定系數(shù)法可得一次函數(shù)l₁的解析式，由一次函數(shù)l₁和l₂的解析式求得交點C的坐標，結合圖象可得答案；
（2）由∠AOB=90°知∠AOE+∠BOF=90°，再根據(jù)∠AEO=∠OFB=90°知∠AOE+∠OAE=90°，從而得∠BOF=∠OAE，結合OA=OB=6可證△AOE≌△OBF得AE=OF、OE=BF，即可知EF=OF+OE=AE+BF；
（3）分①k=1、②0＜k＜1、③k＞1三種情況，與（2）同理證△AOE≌△OBF得AE=OF、OE=BF，結合圖形中EF轉(zhuǎn)化為線段的和或差即可得出答案．

解答 解：（1）∵點B的坐標是（0，6），∠OAB=45°，
∴OA=OB=6，即點A坐標為（6，0），
將點（6，0）、B（0，6）代入y₁=ax+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{6a+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線l₁的解析式為：y=-x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=-\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{2}}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
由圖象可知當x＜$\frac{9}{2}$時，直線l₁位于直線l₂上方，即y₁＞y₂；

（2）EF=AE+BF，
如圖1，

∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠BOF=∠OAE，
在△AOE和△OBF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠OFB}\\{∠OAE=∠BOF}\\{OA=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴AE=OF、OE=BF，
則EF=OF+OE=AE+BF；

（3）EF=|AE-BF|．
①如圖2，

當l₃：y=kx垂直于直線l₁：y=-x+6時，即k=1，
由圖可知，點E與點F重合，
∵∠AOB=90°，∠OAB=45°，
∴∠OBA=45°，
∴AE=BF=OE，EF=0，
即EF=AE-BF；
②如圖3，當0＜k＜1時，

∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠OAE=∠BOF，
在△AOE和△OBF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠BOF}\\{∠AEO=∠OFB}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴AE=OF、OE=BF，
則EF=OE-OF=BF-AE；
③如圖4，當k＞1時，

與②同理可得△AOE≌△OBF，
∴AE=OF、OE=BF，
則EF=OF-OE=BF-AE；
綜上，EF=|AE-BF|．

點評 本題主要考查一次函數(shù)的綜合、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式及兩直線相交的問題是解題的根本，構建全等三角形將分散的線段轉(zhuǎn)移到同一條直線上是解題的關鍵．