Question

17．若a，b，c都是正數，滿足$\frac{a}{bc}$+$\frac{b}{ca}$+$\frac{c}{ab}$≤$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{b}$-$\frac{2}{c}$，則2c²-ac-bc-4c+2的最小值為-2．

Answer 1

分析 由于a、b、c都是正數，根據不等式的性質，去掉分式的分母，整理不等式，根據完全平方公式和非負數的性質，得到a、b、c間關系，把a、b、c間關系代入代數式2c²-ac-bc-4c+2，變形成（c-m）²±n的形式，確定最小值．

解答 解：∵$\frac{a}{bc}$+$\frac{b}{ca}$+$\frac{c}{ab}$≤$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{b}$-$\frac{2}{c}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{abc}$+$\frac{{b}^{2}}{abc}$+$\frac{{c}^{2}}{abc}$≤$\frac{2bc}{abc}$+$\frac{2ac}{abc}$-$\frac{2ab}{abc}$，
∵a，b，c都是正數，
∴a²+b²+c²≤2bc+2ac-2ab，
即a²+b²+c²-2bc-2ac+2ab≤0
（a+b）²-2c（a+b）+c²≤0
∴（a+b-c）²≤0
∴a+b=c．
∵2c²-ac-bc-4c+2
=2c²-c（a+b）-4c+2
由于a+b=c，
∴2c²-c（a+b）-4c+2
=c²-4c+2
=（c-2）²-2
∵（c-2）²≥0
∴（c-2）²-2的最小值是-2．

點評 本題考查了完全平方公式、不等式的性質、非負數的性質、配方法及分式的化簡求值．解決本題有兩個關鍵：（1）根據完全平方公式和非負數的性質確定a、b、c間關系；（2）把要求最小值的代數式變形成（c-m）²±n的形式．