Question

7．如圖，在平面直角坐標系中，以E（0，1）為圓心，3為半徑的⊙E交y軸于A、B兩點，交x軸于C、D兩點，點P的坐標為（0，-8）
（1）直接寫出A，B，C三點的坐標：（0，-2）；（0，4）；（-2$\sqrt{2}$，0）；
（2）求證：PC是⊙E的切線．

Answer 1

分析 （1）連接CE，分別求出OC，OA，OB的長，即可求出點C，點A，點B的坐標；
（2）利用勾股定理的逆定理證明∠ECP=90°即可證明PC是⊙E的切線．

解答 解：
（1）連接CE，
∵圓E的半徑為3，（0，1）為圓心，
∴OE=1，OA=2，CE=3，
∴OC=$\sqrt{C{E}^{2}-O{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵OE⊥CD，
∴OD=CD=2$\sqrt{2}$，
∴AB=6，
∴OB=6-2=4，
∴點A，B，C三點的坐標分別為：（0，-2）；（0，4）；（-2$\sqrt{2}$，0），
故答案為：（0，-2）；（0，4）；（-2$\sqrt{2}$，0）；
（2）證明：
∵點P的坐標為（0，-8），
∴OP=8，
∵OC=2$\sqrt{2}$，
∴PC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{P}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∵PE=9，CE=3，
∴PC²+CE²=PE²，
∴△ECP是直角三角形，
∴∠ECP=90°，
∴CE⊥PC，
∴PC是⊙E的切線．

點評 本題主要考查了切線的判定定理運用、垂徑定理的運用以及勾股定理以及其逆定理的運用，熟練掌握和圓有關的各種性質是解題的關鍵．