Question

15．已知∠AOB=α（90°＜α＜180°），∠COD在∠AOB的內部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）若∠COD=180°-α時，探索下面兩個問題：
①如圖1，當OC在OD左側，求∠MON的度數；
②當OC在OD右側，請在圖2內補全圖形，并求出∠MON的度數（用含α的代數式表示）；
（2）如圖3，當∠COD=kα，且OC在OD左側時，直接寫出∠MON的度數（用含α、k的代數式表示）．

Answer 1

分析 （1）①根據角平分線的定義，得出∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，再根據∠AOB=α，∠COD=180°-α，得出∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=α-（180°-α）=2α-180°，進而得出∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$（2α-180°）=α-90°，最后根據∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）進行計算即可；②根據①中的方法進行計算，即可得出∠MON的度數；
（2）先根據角平分線的定義，得出∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，再根據∠AOB=α，∠COD=kα，得出∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=α-kα，進而得到∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$（α-kα）=$\frac{1}{2}$α（1-k），最后根據∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）進行計算即可．

解答 解：（1）①如圖1，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOD），
∵∠AOB=α，∠COD=180°-α，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=α-（180°-α）=2α-180°，
∴∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$（2α-180°）=α-90°，
∴∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）=α-（α-90°）=90°；

 ②當OC在OD右側，補全圖形如圖2所畫，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∵∠AOB=α，∠COD=180°-α，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD=α+（180°-α）=180°，
∴∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）=α-90°；

（2）∠MON的度數為$\frac{1}{2}$（1+k）α．
理由：如圖3，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOD），
∵∠AOB=α，∠COD=kα，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=α-kα，
∴∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$（α-kα）=$\frac{1}{2}$α（1-k），
∴∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）=α-$\frac{1}{2}$α（1-k）=$\frac{1}{2}$（1+k）α．

點評 本題主要考查了角的計算以及角平分線的定義的運用，解決問題的關鍵是運用角的和差關系進行計算．解題時注意：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．