Question

17．如圖，在平面直角坐標系中，等邊△OAB的邊OB在x軸正半軸上，點A（3，m），m＞0，點D、E分別從B、O以相同的速度向O、A運動，連接AD、BE，交點為F，M是y軸上一點，則FM的最小值是（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． 2$\sqrt{3}$-2
• D． 6-2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先判斷出△OBE≌△DAB（SAS），即可判斷出∠AFB=120°，即可判斷出點F是以O'為圓心的圓上的一段弧（劣弧$\widehat{AB}$），然后確定出圓心O'的位置及坐標，設出點M的坐標，即可確定當點M（0，2$\sqrt{3}$）時，FM的最小值是6-2$\sqrt{3}$．

解答 解：如圖，∵△OAB是等邊三角形，
∴∠AOB=∠ABD=60°，OB=AB，
∵點D、E分別從B、O以相同的速度向O、A運動，
∴BD=OE，在△OBE和△DAB中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=BD}\\{∠BOE=∠ABD=60°}\\{OB=AB}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△DAB（SAS），
∴∠OBE=∠BAD，
∴∠ABE+∠BAD=∠ABE+∠OBE=∠ABO=60°
∴∠AFB=180°-（∠ABE+∠BAD）=120°，
∴點F是經過點A，B，F的圓上的點，記圓心為O'，在⊙O'上取一點N，使點N和點F在弦AB的兩側，連接AN，BN，
∴∠ANB=180°-∠AFB=60°，
連接O'A，O'B，
∴∠AO'B=2∠ANB=120°，
∵O'A=O'B，
∴∠ABO'=∠BAO'，
∴∠ABO'=$\frac{1}{2}$（180°-∠AO'B）=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∵∠ABO=60°，
∴∠OBO'=90°，
∵△AOB是等邊三角形，A（3，m），
∴AB=OB=2×3，m=3$\sqrt{3}$，
過點O'作O'G⊥AB，
∴BG=$\frac{1}{2}$AB=3，
在Rt△BO'G中，∠ABO'=30°，BG=3，
∴O'B=$\frac{BG}{cos∠ABO'}$=$\frac{3}{cos30°}$=2$\sqrt{3}$，
∴O'（6，2$\sqrt{3}$），
設M（0，n），
∴O'M=$\sqrt{36+（n-2\sqrt{3}）^{2}}$
∴FM=O'M-O'F=$\sqrt{36+（n-2\sqrt{3}）^{2}}$-2$\sqrt{3}$，
只有n-2$\sqrt{3}$=0時，（n-2$\sqrt{3}$）2最小為0，即$\sqrt{36+（n-2\sqrt{3}）^{2}}$最小為6．
當n-2$\sqrt{3}$=0時，即：n=2$\sqrt{3}$時，FM最小，
∴FM_的最小值=6-2$\sqrt{3}$．
故選D．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定，勾股定理等知識點；找出點F的運動軌跡是解本題的關鍵也是難點，是一道很好的定弦定角最值問題．解此類題目的方法是判斷出動點的軌跡所在的圓的圓心和確定出半徑．