Question

7．⊙O是△ABG的外接圓，M是BC中點，PB，PC是⊙O切線，DM⊥ME．
求證：∠BPC=2∠DPE．

Answer 1

分析 延長DM到F，使得MF=DM，連接DE、EF、CF，作∠NPC=∠DPB，且PN=DP，連接CN、EN．分別證明△DMB≌△FMC，△EMD≌△EMF，△BPD≌△CPN，
△EFC≌△ENC，創造條件證明△DEP≌△NEP即可解決問題．

解答 證明：延長DM到F，使得MF=DM，連接DE、EF、CF，作∠NPC=∠DPB，且PN=DP，連接CN、EN．
在△DMB和△FMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=MF}\\{∠DMB=∠CMF}\\{BM=CM}\end{array}\right.$，
∴△DMB≌△FMC（SAS），
∴CF=BD，∠DBM=∠MCF，
在△MD和△EMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=EM}\\{∠EMD=∠EMF}\\{DM=MF}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△EMF（SAS），
∴ED=EF，
在△BPD和△CPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PN}\\{∠DPB=∠NPC}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CPN（SAS），
∴∠DBP=∠NCP，BD=CN，
∵∠ECN=360°-∠ECP-∠NCP，
∴∠ECN=∠A+∠BPC，
∵∠BPC=180°-∠BOC=180°-2∠A，
∴∠ECN=180°-∠A，
∵∠ECF=∠ECB+∠FCB=180°-∠A，
∴∠ECN=∠ECF，
在△ECF和△ECN中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=EC}\\{∠ECF=∠ECN}\\{CF=CN}\end{array}\right.$，
∴△EFC≌△ENC（SAS），
∴EF=EN=DE，
在△PED和△PEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PE=PE}\\{PD=PN}\\{DE=EN}\end{array}\right.$
∴△DEP≌△NEP（SSS），
∴∠DPE=$\frac{1}{2}$∠DPN=$\frac{1}{2}$BPC．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、圓周角定理、切線長定理等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造全等三角形解決問題，本題比較難突破點是證明∠ECN=∠ECF，為后面證明全等三角形創造條件．