Question

3．如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，點E、G、H、F分別在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，點M在線段DF上，點N在線段BG上，MN∥AB，點P線段MN上，連接PE、PF、PG、PH，則△PEF和△PGH的面積和等于7．

Answer 1

分析 連接FH、EG，根據給定數據即可證明△AEF≌△CHG，根據全等三角形的性質即可得出EF=GH，同理可得EG=HF，然后根據兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形EGHF是平行四邊形，從而得出△PEF和△PGH的面積和等于平行四邊形EGHF的面積的一半，再利用平行四邊形EGHF的面積等于矩形ABCD的面積減去四周四個小直角三角形的面積即可求解．

解答 解：連接FH、EG，如圖所示．
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD=4，∠A=∠C=90°，
∵BE=DH=1，
∴AE=CH=3．
在△AEF和△CHG中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CG}\\{∠A=∠C=90°}\\{AE=CH}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CHG（SAS），
∴EF=HG．
同理可得：EG=HF，
∴四邊形EGHF是平行四邊形，
∴S_△PEF+S_△PGH=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形EGHF}．
∵AD=BC=6，AF=CG=2，
∴DF=BG=4．
∵S_{平行四邊形EGHF}=S_矩形ABCD-S_△AEF-S_△BEG-S_△CGH-S_△DFH=AB•BC-$\frac{1}{2}$AF•AE-$\frac{1}{2}$BE•BG-$\frac{1}{2}$CG•CH-$\frac{1}{2}$DH•DF=4×6-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×1×4-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×1×4=14，
∴S_△PEF+S_△PGH=7．
故答案為：7．

點評 本題考查了矩形的性質．全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質以及三角形的面積，連接FH、EG，找出四邊形EGHF是平行四邊形是解題的關鍵．