Question

11．如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E為AB中點，F為CD中點，EF分別與BD、AC交于點G、H．
（1）若AC=BD，試比較線段OG、OH的大小，井證明你的結論；
（2）求證：OG•AC=OH•BD．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點，連接ME、MF，根據三角形中位線定理得到EM=$\frac{1}{2}$AC，FM=$\frac{1}{2}$BD，得到ME=MF，得到答案；
（2）證明△OGH∽△MFE，根據相似三角形的性質證明結論．

解答 （1）解：OG=OH．
證明如下：
取BC的中點，連接ME、MF，
則EM=$\frac{1}{2}$AC，FM=$\frac{1}{2}$BD，又AC=BD，
∴ME=MF，
∴∠MFE=∠MEF，
∵ME∥AC，MF∥BD，
∴∠MFE=∠OGH，∠OHG=∠MEF，
∴∠OGH=∠OHG，
∴OG=OH；
（2）∵∠MFE=∠OGH，∠OHG=∠MEF，
∴△OGH∽△MFE，
∴$\frac{OG}{MF}$=$\frac{OH}{ME}$，
∴$\frac{OG}{2MF}$=$\frac{OH}{2ME}$，即$\frac{OG}{BD}$=$\frac{OH}{AC}$，
∴OG•AC=OH•BD．

點評 本題考查的是三角形中位線定理和相似三角形的判定和性質，掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半是解題的關鍵．