Question

14．如圖，AD是△ABC的角平分線，以AD為弦的⊙O交AB、AC于E、F，已知EF∥BC．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若已知AE=9，CF=4，求DE長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，若∠BAC=60°，求tan∠AFE的值及GD長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由角平分線的定義得到∠1=∠2，得到$\widehat{DE}$=$\widehat{DF}$，根據(jù)垂徑定理得到OD⊥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD⊥BC，于是得到結(jié)論；
（2）連接DE，由$\widehat{DE}$=$\widehat{DF}$，得到DE=DF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠3=∠4，等量代換得到∠1=∠4，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）過F作FH⊥BC于H，由已知條件得到∠1=∠2=∠3=∠4=30°，解直角三角形得到FH=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}×6$=3，DH=3$\sqrt{3}$，CH=$\sqrt{C{F}^{2}-H{F}^{2}}$=$\sqrt{7}$，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到tan∠AFE=tan∠C=$\frac{HF}{CH}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$；根據(jù)相似三角形到現(xiàn)在即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OD，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠1=∠2，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{DF}$，
∴OD⊥EF，
∵EF∥BC，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；

（2）解：連接DE，
∵$\widehat{DE}$=$\widehat{DF}$，
∴DE=DF，
∵EF∥BC，
∴∠3=∠4，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠4，
∵∠DFC=∠AED，
∴△AED∽△DFC，
∴$\frac{AE}{DF}=\frac{DE}{CF}$，即$\frac{9}{DE}=\frac{DE}{4}$，
∴DE²=36，
∴DE=6；

（3）解：過F作FH⊥BC于H，
∵∠BAC=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
∴FH=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}×6$=3，DH=3$\sqrt{3}$，
∴CH=$\sqrt{C{F}^{2}-H{F}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵EF∥BC，
∴∠C=∠AFE，
∴tan∠AFE=tan∠C=$\frac{HF}{CH}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$；
∵∠4=∠2．∠C=∠C，
∴△ADC∽△DFC，
∴$\frac{AD}{DF}=\frac{CD}{CF}$，
∵∠5=∠5，∠3=∠2，
∴△ADF∽△FDG，
∴$\frac{AD}{DF}=\frac{DF}{DG}$，
∴$\frac{CD}{CF}$=$\frac{DF}{DG}$，即$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{7}}{4}$=$\frac{6}{DG}$，
∴DG=$\frac{18\sqrt{3}-6\sqrt{7}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．