Question

6．如圖，正方形ABCD中，P為CD上一動點，過C作CM⊥AP交AP于M并延長AP，使MN=AM，連BD交AN于E，連CN．
（1）求證：CN=BD；
（2）連BM、DM，試探究BM、DM與MN之間的數量關系．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接AC．由AM=MN，CM⊥AN，推出CN=CA，由四邊形ABCD是正方形，推出BD=AC，延長即可證明．
（2）結論：MB+MD=$\sqrt{2}$MA．如圖2中，連接AC交BD于O，延長DB到F使得BF=DM，連接OM．只要證明△ADM≌△ABF，推出AM=AF，∠DAM=∠BAF，推出∠MAF=∠DAB=90°，推出MF=$\sqrt{2}$MA，延長即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接AC．

∵AM=MN，CM⊥AN，
∴CN=CA，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD=AC，
∴CN=BD．

（2）解：結論：MB+MD=$\sqrt{2}$MA．
理由：如圖2中，連接AC交BD于O，延長DB到F使得BF=DM，連接OM．

在Rt△AMC中，∵OA=OC，
∴OM=OA=OC=OB=DO，
∴A、B、C、M、D五點共圓，
∴∠ADM+∠ABD=180°，
∵∠ABD+∠ABF=180°，
∴∠ADM=∠ABF，∵AD=AB，DM=BF，
∴△ADM≌△ABF，
∴AM=AF，∠DAM=∠BAF，
∴∠MAF=∠DAB=90°，
∴MF=$\sqrt{2}$MA，
∵MF=BF+MB=MD+MB，
∴MB+MD=$\sqrt{2}$MA．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、正方形的性質、四點共圓、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．