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1.問題背景:在△ABC中,AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$,求此三角形的面積.小輝同學(xué)在解答這道題時(shí),先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1),再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC(即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處),如圖①所示.這樣不需求△ABC的高,而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積.
(1)請(qǐng)你將△ABC的面積直接填寫在橫線上:$\frac{7}{2}$.
思維拓展:
(2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法.如果△ABC三邊的長(zhǎng)分別為$\sqrt{5}$a、$\sqrt{8}$a、$\sqrt{17}$a(a>0),請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a)畫出相應(yīng)的△ABC,并求出它的面積.
探索創(chuàng)新:
(3)若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為$\sqrt{{m}^{2}+16{n}^{2}}$、$\sqrt{9{m}^{2}+4{n}^{2}}$、$\sqrt{16{m}^{2}+4{n}^{2}}$ (m>0,n>0,且m≠n),試運(yùn)用構(gòu)圖法畫出示意圖并求出這三角形的面積.

分析 (1)△ABC的面積=3×3-1×2÷2-1×3÷2-2×3÷2=$\frac{7}{2}$;
(2)$\sqrt{5}$a是直角邊長(zhǎng)為a,2a的直角三角形的斜邊;$\sqrt{8}$a是直角邊長(zhǎng)為2a,2a的直角三角形的斜邊;$\sqrt{17}$a是直角邊長(zhǎng)為a,4a的直角三角形的斜邊,把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積;
(3)結(jié)合(1),(2)易得此三角形的三邊分別是直角邊長(zhǎng)為m,4n的直角三角形的斜邊;直角邊長(zhǎng)為3m,2n的直角三角形的斜邊;直角邊長(zhǎng)為4m,2n的直角三角形的斜邊.同樣把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積.

解答 解:(1)S△ABC=3×3-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×2×3=$\frac{7}{2}$.
故答案為:$\frac{7}{2}$.

(2)如圖1,在邊長(zhǎng)為a的正方形網(wǎng)格中,△ABC即為所求作三角形,

S△ABC=2a×4a-$\frac{1}{2}$×2a×2a-$\frac{1}{2}$×2a×a-$\frac{1}{2}$×4a×a=3a2

(3)如圖2,在長(zhǎng)為m、寬為n的網(wǎng)格中,△ABC即為所求作三角形,
其中AB=$\sqrt{{m}^{2}+16{n}^{2}}$、AC=$\sqrt{9{m}^{2}+4{n}^{2}}$、BC=$\sqrt{16{m}^{2}+4{n}^{2}}$,

S△ABC=4m×4n-$\frac{1}{2}$×m×4n-$\frac{1}{2}$×3m×2n-$\frac{1}{2}$×4m×2n=7mn.

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了勾股定理應(yīng)用,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,通過構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求解是解題關(guān)鍵.關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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12.在△ABC中,AC=BC,BD⊥AC,交AC邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AB邊上,EF⊥BD于點(diǎn)F,且EF=BD,若AC=$\frac{13}{4}$,DF=1(BF>CD),則線段BE的長(zhǎng)為$\sqrt{13}$.

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9.如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中無重疊放入面積分別為16cm2和12cm2的兩張正方形紙片,則圖中空白部分的面積為(  )cm2
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16.已知a、b是方程x2-2x+m-1=0(m≠1)的兩根,在直角坐標(biāo)系下有A(a,0)、B(0,b),以AB為直徑作⊙M,則⊙M的半徑的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

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6.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,點(diǎn)D在邊BC上,連接AD,以點(diǎn)D為頂點(diǎn),AD為一邊作等邊△ADE,連接BE,若BC=7,BE=4,∠CBE=60°,則∠EAB的正切值為$\frac{2\sqrt{3}}{11}$.

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13.已知△ABC是等邊三角形,D是AC的中點(diǎn),F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn),且AF=2BF,E為射線BC上一點(diǎn),∠EDF=120°,則$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{3}$.

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10.將一副三角尺按如圖方式進(jìn)行擺放,則∠1的度數(shù)為120°.

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11.已知等腰△ABC中,AB=AC=5a,BC=8a.點(diǎn)D、E為邊AB、BC上兩點(diǎn).
(1)若BD=$\frac{1}{2}$AD,BE=$\frac{1}{2}$CE,求DE的長(zhǎng)(用a的代數(shù)式表示);
(2)若BD=2a,當(dāng)△DBE中有一個(gè)角等于$\frac{1}{2}$∠BAC,求此時(shí)DE的長(zhǎng)(用a的代數(shù)式表示).

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