Question

12．在△ABC中，AC=BC，BD⊥AC，交AC邊的延長線于點D，點E在AB邊上，EF⊥BD于點F，且EF=BD，若AC=$\frac{13}{4}$，DF=1（BF＞CD），則線段BE的長為$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 如圖，設BF=x，CD=y，由BC²=CD²+BD²，得y²+（x+1）²=（$\frac{13}{4}$）²    ①，由EF∥AD，得$\frac{EF}{AD}$=$\frac{BF}{BD}$，得$\frac{x+1}{\frac{13}{4}+y}$=$\frac{x}{x+1}$    ②，解方程組即可解決問題．

解答 解：如圖，設BF=x，CD=y，
在Rt△BCD中，∵BC²=CD²+BD²，
∴y²+（x+1）²=（$\frac{13}{4}$）²    ①，
∵EF⊥DE，AD⊥BD，
∴EF∥AD，
∴$\frac{EF}{AD}$=$\frac{BF}{BD}$，
∴$\frac{x+1}{\frac{13}{4}+y}$=$\frac{x}{x+1}$    ②，
由①②解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴EF=3，BF=2，
在Rt△BEF中，BE=$\sqrt{E{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
故答案為$\sqrt{13}$．

點評 本題考查勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會構建方程組解決問題，屬于中考常考題型．