Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交BC于E，交CD于F，EG⊥AB于G．
（1）如圖1，求證：CF=EG；
（2）如圖2，當tan∠EAB=$\frac{1}{2}$，EF=$\sqrt{5}$時，求四邊形CFGE的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的性質，可得EC=EG，易證△CEF是等腰三角形，即可得CF=CE=EG，由此即可解決問題．
（2）首先證明四邊形CFGE是菱形，再證明∠1=∠4=∠3，推出tan∠1=$\frac{EO}{CO}$=$\frac{1}{2}$，由OE=OF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，推出OC=OG=$\sqrt{5}$，根據(jù)菱形的面積公式計算即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC⊥CE，
∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，
∴∠3=∠4，EC=EG，
∵CD⊥AB，
∴CD∥EG，∠CFE=∠AFD=90°-∠3，
∵∠AEC=90°-∠3，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE，
∴CF=EG，

（2）解：如圖2中，連接CG交AE于O．

由（1）可知，CF=EG，CF∥EG，
∴四邊形CFGE是平行四邊形，
∵CF=CE，
∴四邊形CFGE是菱形，
∴CG⊥AE，
∵∠1+∠CEO=90°，∠4+∠CEO=90°，
∴∠1=∠4=∠3，
∵tan∠3=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠1=$\frac{EO}{CO}$=$\frac{1}{2}$，∵OE=OF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴OC=OG=$\sqrt{5}$，
∴四邊形CFGE的面積=$\frac{1}{2}$•CG•EF=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{5}$•$\sqrt{5}$=5．

點評 此題考查了菱形的判定和性質、等腰三角形的判定與性質、平行四邊形的判定、銳角三角函數(shù)、角平分線的性質定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．