Question

19．已知AB是半⊙O的直徑，點C為半圓弧的中點，點D是弧$\widehat{AC}$上一點，連接BD交AC于E點．
（1）如圖1，若點D是弧$\widehat{AC}$的中點，連接AD，求證：BE=2AD；
（2）如圖2，若點E是AC的中點，作CF⊥BD于F，連接AF，求tan∠CAF的值．

Answer 1

分析 （1）延長AD、BC交于點F，根據全等三角形的性質得到BE=AF，由AB是半⊙O的直徑，得到BD⊥AF，根據等腰三角形的性質得到AD=DF，于是得到結論；
（2）如圖2，由E為AC的中點，得到BC=AC=2CE，根據余角的性質得到∠ECF=∠CBF，根據相似三角形的性質得到$\frac{CF}{BC}$=$\frac{1}{2}$，設EF=1，則CF=2，BF=4，AE=CE=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，連接AD，得到AD=CF=2，求得根據三角形的面積得到FG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，CG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，于是得到結論．

解答 （1）證明：如圖1，延長AD、BC交于點F，在△ACF與△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠CBE}\\{∠ACF=∠BCE=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCE，
∴BE=AF，
∵AB是半⊙O的直徑，
∴BD⊥AF，
∵∠ABD=∠DBC，
∴AB=BF，
∴AD=DF，
∴BE=AF=2AD；
（2）解：如圖2，∵E為AC的中點，
∴BC=AC=2CE，
∵CF⊥BE，
∴∠CFE=∠CFB=∠ACB=90°，
∴∠ECF+∠CEF=∠CEF+∠CBE=90°，
∴∠ECF=∠CBF，
∴△CEF∽△CBF，
∴$\frac{EF}{CF}$=$\frac{CE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CF}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
設EF=1，則CF=2，BF=4，AE=CE=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，
連接AD，
則AD⊥BD，△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=2，
方法1：∵S_△AFC=S_△ABC-S_△BCF-S△ABF
∴S_△AFC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}×$4×2-$\frac{1}{2}×$4×2=2，
過點F作FG⊥AC于G，
∴S_△AFC=$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{5}$×FG=2，
∴FG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，CG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠CAF=$\frac{FG}{AG}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，圓周角定理，全等三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．