Question

13．已知△ABC是等邊三角形，D是AC的中點，F為AB邊上一點，且AF=2BF，E為射線BC上一點，∠EDF=120°，則$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 過D作DG∥BC交AB于G，則DG為△ABC的中位線，根據等邊三角形的性質得∠ACB=∠ABC=60°，由DG∥BC，得∠FGD=120°，∠GDC=120°，△AGD為等邊三角形，而∠EDF=120°，得∠GDF=∠CDE，易證得△GDF∽△CDE，所以FG：CE=DG：DC，即CE：DC=FG：DG=FG：AG，當AF=2BF，設BF=x，AF=2x，則AB=3x，AG=1.5x，FG=1.5x-x=0.5x，即可得到CE：DC的比值．

解答 解：過D作DG∥BC交AB于G，如圖1，
∵D是AC的中點，
∴DG為△ABC的中位線，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠DCE=120°，
又∵DG∥BC，
∴∠FGD=120°，∠GDC=120°，△AGD為等邊三角形，
而∠EDF=120°，
∴∠GDF=∠CDE，
∴△GDF∽△CDE，
∴FG：CE=DG：DC，即CE：DC=FG：DG，
而DG=AG=BG，AF=2BF，
設BF=x，AF=2x，則AB=3x，AG=1.5x，FG=1.5x-x=0.5x，
∴CE：DC=FG：DG=FG：AG=1.5x：0.5x=1：3．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了等邊三角形的性質：等邊三角形三邊相等；三個角都等于60°；也考查了相似三角形的判定與性質以及含30度的直角三角形三邊的關系．