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13.已知△ABC是等邊三角形,D是AC的中點,F為AB邊上一點,且AF=2BF,E為射線BC上一點,∠EDF=120°,則$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{3}$.

分析 過D作DG∥BC交AB于G,則DG為△ABC的中位線,根據等邊三角形的性質得∠ACB=∠ABC=60°,由DG∥BC,得∠FGD=120°,∠GDC=120°,△AGD為等邊三角形,而∠EDF=120°,得∠GDF=∠CDE,易證得△GDF∽△CDE,所以FG:CE=DG:DC,即CE:DC=FG:DG=FG:AG,當AF=2BF,設BF=x,AF=2x,則AB=3x,AG=1.5x,FG=1.5x-x=0.5x,即可得到CE:DC的比值.

解答 解:過D作DG∥BC交AB于G,如圖1,
∵D是AC的中點,
∴DG為△ABC的中位線,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°,
∴∠DCE=120°,
又∵DG∥BC,
∴∠FGD=120°,∠GDC=120°,△AGD為等邊三角形,
而∠EDF=120°,
∴∠GDF=∠CDE,
∴△GDF∽△CDE,
∴FG:CE=DG:DC,即CE:DC=FG:DG,
而DG=AG=BG,AF=2BF,
設BF=x,AF=2x,則AB=3x,AG=1.5x,FG=1.5x-x=0.5x,
∴CE:DC=FG:DG=FG:AG=1.5x:0.5x=1:3.
故答案為:$\frac{1}{3}$.

點評 本題考查了等邊三角形的性質:等邊三角形三邊相等;三個角都等于60°;也考查了相似三角形的判定與性質以及含30度的直角三角形三邊的關系.

練習冊系列答案
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(1)如圖1,求證:CF=EG;
(2)如圖2,當tan∠EAB=$\frac{1}{2}$,EF=$\sqrt{5}$時,求四邊形CFGE的面積.

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1.問題背景:在△ABC中,AB、BC、AC三邊的長分別為$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$,求此三角形的面積.小輝同學在解答這道題時,先建立一個正方形網格(每個小正方形的邊長為1),再在網格中畫出格點△ABC(即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處),如圖①所示.這樣不需求△ABC的高,而借用網格就能計算出它的面積.
(1)請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上:$\frac{7}{2}$.
思維拓展:
(2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構圖法.如果△ABC三邊的長分別為$\sqrt{5}$a、$\sqrt{8}$a、$\sqrt{17}$a(a>0),請利用圖②的正方形網格(每個小正方形的邊長為a)畫出相應的△ABC,并求出它的面積.
探索創新:
(3)若△ABC三邊的長分別為$\sqrt{{m}^{2}+16{n}^{2}}$、$\sqrt{9{m}^{2}+4{n}^{2}}$、$\sqrt{16{m}^{2}+4{n}^{2}}$ (m>0,n>0,且m≠n),試運用構圖法畫出示意圖并求出這三角形的面積.

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科目:初中數學 來源: 題型:選擇題

8.如圖,在矩形ABCD中,BC=$\sqrt{2}$AB,∠ADC的平分線交邊BC于點E,AH⊥DE于點H,連接CH并延長交邊AB于點F,連接AE交CF于點O,給出下列命題:
(1)∠AEB=∠AEH (2)DH=2$\sqrt{2}$EH
(3)OH=$\frac{1}{2}$AE (4)BC-BF=$\sqrt{2}$EH
其中正確命題的序號(  )
A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(2)(4)D.(1)(3)

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18.環島是為了減少車輛行駛沖突,在多個交通路口交匯的地方設置的交通設施,多為圓形,它使車輛按統一方向行駛,將沖突點轉變為通行點,能有效地減少交通事故的發生,如圖是該交通環島的簡化模型(因路段FG施工,禁止從路段EF行駛過來的車輛在環島內通行,只能往環島外行駛),某時段內該交通環島的進出機動車輛數如圖所示,圖中箭頭方向表示車輛的行駛方向.
(1)求該時段內路段AB上的機動車輛數x1
(2)求該時段內從F口駛出的機動車輛數x2
(3)若a=10,b=4,求該時段內路段CD上的機動車輛處x3

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

5.某公司銷售一種新型節能產品,現準備從國內和國外兩種銷售方案中選擇一種進行銷售.
若只在國內銷售,銷售價格y(元/件)與月銷量x(件)的函數關系式為y=-0.01x+150,成本為20元/件,無論銷售多少,每月還需支出廣告費62500元,設月利潤為w(元).
若只在國外銷售,銷售價格為150元/件,受各種不確定因素影響,成本為a元/件(a為常數,10≤a≤40),當月銷量為x(件)時,每月還需繳納0.01x2元的附加費,設月利潤為w(元).
(1)當x=1000時,y=140元/件;
(2)分別求出w,w與x之間的函數關系式;
(3)如果某月要求將5000件產品全部銷售完,請你通過分析幫公司決策,選擇在國內還是在國外銷售,才能使所獲月利潤較大?

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2.某商店以每件25元的價格購進一批商品,該商品可以自行定價,若每件商品售價a元,則可賣出(400-10a)件,但物價局限定每件商品的利潤不得超過進價的30%,商店計劃要盈利500元,每件商品應定價多少元?需要進貨多少件?

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3.如圖,矩形ABCD中,AB=10,AD=4,點P在邊DC上,且△PAB是直角三角形,請在圖中標出符合題意的點P,并直接寫出PC的長.

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