分析 過D作DG∥BC交AB于G,則DG為△ABC的中位線,根據等邊三角形的性質得∠ACB=∠ABC=60°,由DG∥BC,得∠FGD=120°,∠GDC=120°,△AGD為等邊三角形,而∠EDF=120°,得∠GDF=∠CDE,易證得△GDF∽△CDE,所以FG:CE=DG:DC,即CE:DC=FG:DG=FG:AG,當AF=2BF,設BF=x,AF=2x,則AB=3x,AG=1.5x,FG=1.5x-x=0.5x,即可得到CE:DC的比值.
解答 解:過D作DG∥BC交AB于G,如圖1,
∵D是AC的中點,
∴DG為△ABC的中位線,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°,
∴∠DCE=120°,
又∵DG∥BC,
∴∠FGD=120°,∠GDC=120°,△AGD為等邊三角形,
而∠EDF=120°,
∴∠GDF=∠CDE,
∴△GDF∽△CDE,
∴FG:CE=DG:DC,即CE:DC=FG:DG,
而DG=AG=BG,AF=2BF,
設BF=x,AF=2x,則AB=3x,AG=1.5x,FG=1.5x-x=0.5x,
∴CE:DC=FG:DG=FG:AG=1.5x:0.5x=1:3.
故答案為:$\frac{1}{3}$.
點評 本題考查了等邊三角形的性質:等邊三角形三邊相等;三個角都等于60°;也考查了相似三角形的判定與性質以及含30度的直角三角形三邊的關系.
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