Question

3．如圖，矩形ABCD中，AB=10，AD=4，點P在邊DC上，且△PAB是直角三角形，請在圖中標出符合題意的點P，并直接寫出PC的長．

Answer 1

分析 以AB的中點O為圓心，AB的一半5為半徑作圓，交CD于點P，點P即為所求；設PC=x，則PD=10-x，證△ADP∽△PCB得$\frac{AD}{PC}$=$\frac{DP}{CB}$，即$\frac{4}{x}=\frac{10-x}{4}$，解之可得答案．

解答 解：如圖，以AB的中點O為圓心，AB的一半5為半徑作圓，交CD于點P，點P即為所求；

設PC=x，則PD=10-x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DAP+∠APD=90°，
∵∠APB=90°，
∴∠APD+∠BPC=90°，
∴∠DAP=∠CPB，
∴△ADP∽△PCB，
∴$\frac{AD}{PC}$=$\frac{DP}{CB}$，即$\frac{4}{x}=\frac{10-x}{4}$，
解得：x=2或x=8，
即PC=2或PC=8．

點評 本題主要考查圓周角定理和相似三角形的判定與性質及矩形的性質，熟練掌握圓周角定理和相似三角形的性質是解題的關鍵．