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11.已知等腰△ABC中,AB=AC=5a,BC=8a.點D、E為邊AB、BC上兩點.
(1)若BD=$\frac{1}{2}$AD,BE=$\frac{1}{2}$CE,求DE的長(用a的代數式表示);
(2)若BD=2a,當△DBE中有一個角等于$\frac{1}{2}$∠BAC,求此時DE的長(用a的代數式表示).

分析 (1)證明△BDE∽△BAC,列比例式可求DE的長;
(2)作輔助線,構建直角三角形,根據等腰三角形三線合一的性質得:∠BAG=∠CAG=$\frac{1}{2}$∠BAC,并根據勾股定理求AG的長,當△DBE中有一個角等于$\frac{1}{2}$∠BAC時,分兩種情況:①如圖1,當∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BAC時,②如圖2,當∠BED=$\frac{1}{2}$∠BAC時,分別證明△BDE∽△BAG,列比例式可求得DE的長.

解答 解:(1)∵$BD=\frac{1}{2}AD,BE=\frac{1}{2}CE$,
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$,
∵∠B=∠B,
∴△BDE∽△BAC,
∴$\frac{DE}{5a}=\frac{1}{3}$,
∴DE=$\frac{5}{3}a$;
(2)過A作AG⊥BC于G,
∴BG=$\frac{1}{2}BC=4a$,
由勾股定理得:AG=3a,
分兩種情況:
①如圖1,當∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BAC時,∠BDE=∠BAG,
∵∠B=∠B,
∴△BDE∽△BAG,
∴$\frac{2a}{5a}=\frac{DE}{3a}$,
∴DE=$\frac{6}{5}a$;
②如圖2,當∠BED=$\frac{1}{2}$∠BAC時,∠BED=∠BAG,
∵∠B=∠B,
∴△BED∽△BAG,
∴$\frac{2a}{4a}=\frac{DE}{3a}$,
∴DE=$\frac{3}{2}a$.
綜上所述,DE的長為$\frac{6}{5}$a或$\frac{3}{2}$a.

點評 本題考查了三角形相似的性質和判定、等腰三角形的性質,熟練掌握三角形相似的性質和判定是關鍵,注意兩三角形相似時對應邊的比成比例.

練習冊系列答案
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(1)請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上:$\frac{7}{2}$.
思維拓展:
(2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構圖法.如果△ABC三邊的長分別為$\sqrt{5}$a、$\sqrt{8}$a、$\sqrt{17}$a(a>0),請利用圖②的正方形網格(每個小正方形的邊長為a)畫出相應的△ABC,并求出它的面積.
探索創新:
(3)若△ABC三邊的長分別為$\sqrt{{m}^{2}+16{n}^{2}}$、$\sqrt{9{m}^{2}+4{n}^{2}}$、$\sqrt{16{m}^{2}+4{n}^{2}}$ (m>0,n>0,且m≠n),試運用構圖法畫出示意圖并求出這三角形的面積.

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