Question

11．已知等腰△ABC中，AB=AC=5a，BC=8a．點D、E為邊AB、BC上兩點．
（1）若BD=$\frac{1}{2}$AD，BE=$\frac{1}{2}$CE，求DE的長（用a的代數式表示）；
（2）若BD=2a，當△DBE中有一個角等于$\frac{1}{2}$∠BAC，求此時DE的長（用a的代數式表示）．

Answer 1

分析 （1）證明△BDE∽△BAC，列比例式可求DE的長；
（2）作輔助線，構建直角三角形，根據等腰三角形三線合一的性質得：∠BAG=∠CAG=$\frac{1}{2}$∠BAC，并根據勾股定理求AG的長，當△DBE中有一個角等于$\frac{1}{2}$∠BAC時，分兩種情況：①如圖1，當∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BAC時，②如圖2，當∠BED=$\frac{1}{2}$∠BAC時，分別證明△BDE∽△BAG，列比例式可求得DE的長．

解答 解：（1）∵$BD=\frac{1}{2}AD，BE=\frac{1}{2}CE$，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴$\frac{DE}{5a}=\frac{1}{3}$，
∴DE=$\frac{5}{3}a$；
（2）過A作AG⊥BC于G，
∴BG=$\frac{1}{2}BC=4a$，
由勾股定理得：AG=3a，
分兩種情況：
①如圖1，當∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BAC時，∠BDE=∠BAG，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAG，
∴$\frac{2a}{5a}=\frac{DE}{3a}$，
∴DE=$\frac{6}{5}a$；
②如圖2，當∠BED=$\frac{1}{2}$∠BAC時，∠BED=∠BAG，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BAG，
∴$\frac{2a}{4a}=\frac{DE}{3a}$，
∴DE=$\frac{3}{2}a$．
綜上所述，DE的長為$\frac{6}{5}$a或$\frac{3}{2}$a．

點評 本題考查了三角形相似的性質和判定、等腰三角形的性質，熟練掌握三角形相似的性質和判定是關鍵，注意兩三角形相似時對應邊的比成比例．