分析 (1)證明△BDE∽△BAC,列比例式可求DE的長;
(2)作輔助線,構建直角三角形,根據等腰三角形三線合一的性質得:∠BAG=∠CAG=$\frac{1}{2}$∠BAC,并根據勾股定理求AG的長,當△DBE中有一個角等于$\frac{1}{2}$∠BAC時,分兩種情況:①如圖1,當∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BAC時,②如圖2,當∠BED=$\frac{1}{2}$∠BAC時,分別證明△BDE∽△BAG,列比例式可求得DE的長.
解答 解:(1)∵$BD=\frac{1}{2}AD,BE=\frac{1}{2}CE$,
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$,
∵∠B=∠B,
∴△BDE∽△BAC,
∴$\frac{DE}{5a}=\frac{1}{3}$,
∴DE=$\frac{5}{3}a$;
(2)過A作AG⊥BC于G,
∴BG=$\frac{1}{2}BC=4a$,
由勾股定理得:AG=3a,
分兩種情況:
①如圖1,當∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BAC時,∠BDE=∠BAG,
∵∠B=∠B,
∴△BDE∽△BAG,
∴$\frac{2a}{5a}=\frac{DE}{3a}$,
∴DE=$\frac{6}{5}a$;
②如圖2,當∠BED=$\frac{1}{2}$∠BAC時,∠BED=∠BAG,
∵∠B=∠B,
∴△BED∽△BAG,
∴$\frac{2a}{4a}=\frac{DE}{3a}$,
∴DE=$\frac{3}{2}a$.
綜上所述,DE的長為$\frac{6}{5}$a或$\frac{3}{2}$a.
點評 本題考查了三角形相似的性質和判定、等腰三角形的性質,熟練掌握三角形相似的性質和判定是關鍵,注意兩三角形相似時對應邊的比成比例.
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A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | 1 |
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