Question

20．如圖，△ABC中，AD、AE分別是BC邊上的中線和高，點F是AB中點，作FH⊥BC于點H，FH與AD的延長線交于點G．若AC=$\sqrt{34}$，tan∠ABC=$\frac{4}{5}$，DE=FH，則HG=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據已知條件得到FH∥AE，根據三角形的中位線的性質得到BH=HE，FH=$\frac{1}{2}$AE，由tan∠ABC=$\frac{4}{5}$，設AE=4k，BE=5k，根據勾股定理得到AE²+CE²=AC²，求得AE=4$\sqrt{2}$，DE=2$\sqrt{2}$，BH=EH=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解答 解：∵AD⊥BC，FH⊥BC，
∴FH∥AE，
∵點F是AB中點，
∴AF=BF，
∴BH=HE，FH=$\frac{1}{2}$AE，
∵tan∠ABC=$\frac{4}{5}$，
∴設AE=4k，BE=5k，
∴FH=2k，
∴DE=FH=2k，
∴BD=3k，
∵AD是BC邊上的中線，
∴CD=BD=3k，
∴CE=k，
∵AE²+CE²=AC²，即（4k）²+k²=（$\sqrt{34}$）²，
∴k=$\sqrt{2}$，
∴AE=4$\sqrt{2}$，DE=2$\sqrt{2}$，BH=EH=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
∴DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠DHG=∠AED=90°，∠HDG=∠ADE，
∴△DHG∽△DEA，
∴$\frac{HG}{AE}=\frac{DH}{DE}$，
∴HG=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，三角形的中位線的性質，勾股定理，三角函數的定義，正確的識別圖形是解題的關鍵．