Question

19．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{12}{5}$與兩坐標軸分別交于A，B兩點，OM⊥AB，垂足為點M．
（1）求點A，B的坐標；
（2）求OM的長；
（3）存在直線l上的點P，y軸上的點Q，使得以O，P，Q為頂點的三角形與△OMP全等，請求出所有符合條件的點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用坐標軸上，點的坐標的特點即可得出點A，B坐標；
（2）利用三角形的面積公式建立方程即可得出OM，
（3）先判斷出滿足條件的兩個三角形全等，只有∠OQP=90°，再分PQ=OM和OQ=OM兩種情況討論計算．

解答 解：（1）令x=0，
∴y=$\frac{12}{5}$，
∴B（0，$\frac{12}{5}$）；
令y=0，
∴-$\frac{3}{4}$x+$\frac{12}{5}$=0，
∴x=$\frac{16}{5}$，
∴A（$\frac{16}{5}$，0）；
∴A（$\frac{16}{5}$，0），B（0，$\frac{12}{5}$）；
（2）由（1）知，A（$\frac{16}{5}$，0），B（0，$\frac{12}{5}$）；
∴OA=$\frac{16}{5}$，OB=$\frac{12}{5}$，AB=4，
∵OM⊥AB，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}OA×OB$=$\frac{1}{2}$AB×OM，
∴OM=$\frac{OA×OB}{AB}$=$\frac{48}{25}$；
（3）∵以O，P，Q為頂點的三角形與△OMP全等，
∴OP是公共邊，在Rt△OMP中，OP為斜邊，
∴∠OQP=90°，
∴PQ∥x軸，
∵以O，P，Q為頂點的三角形與△OMP全等，
∴PQ=OM或OQ=OM，
①當PQ=OM時，
∴PQ=OM=$\frac{48}{25}$，
∴P點橫坐標為$\frac{48}{25}$或-$\frac{48}{25}$，
Ⅰ、當點P橫坐標為$\frac{48}{25}$，
∴點P的縱坐標為：$\frac{24}{25}$，
∴P（$\frac{48}{25}$，$\frac{24}{25}$），
∴Q（0，$\frac{24}{25}$）．
Ⅱ、當點P橫坐標為：-$\frac{48}{25}$，
∴點P的縱坐標為：$\frac{96}{25}$，
∴P（-$\frac{48}{25}$，$\frac{96}{25}$），
∴Q（0，$\frac{96}{25}$）．；
②當OQ=OM時，OQ=OM=$\frac{48}{25}$，
∴Q（0，$\frac{48}{25}$）或（0，-$\frac{48}{24}$）；
即：滿足條件的點Q的坐標為（0，$\frac{24}{25}$）．或（0，$\frac{96}{25}$）．或（0，$\frac{48}{25}$）或（0，-$\frac{48}{24}$）．

點評 此題是一次函數綜合題，主要考查了坐標軸上點的特征，三角形的面積公式，全等三角形的判定，解本題的關鍵是用方程的思想列出方程，是一道中等難度的中考常考題．