Question

10．矩形ABCD中，點E為BC上一點，BE=$\frac{1}{4}$BC，點F為邊AD上的一個動點，連接EF，將矩形ABCD沿著EF翻折，使點C恰好落在AB上，其對應(yīng)點為M．
（1）如圖1，當(dāng)點F與點D重合時，求證：△AMD∽△BEM；
（2）當(dāng)$\frac{DF}{AD}$=$\frac{1}{5}$時，如圖2，點D的對應(yīng)點為點D′，D′M與AD交于點N，求證：AN=FD．

Answer 1

分析 （1）因為△DEM是由△DEC翻折得到，是由∠DME=∠C=90°，推出∠AMD+∠BME=90°，∠BME+∠MEB=90°，推出∠AMD=∠MEB，由此不難證明．
（2）由△D′FN∽△AMN∽△BEM，BE=$\frac{1}{4}$BC，推出EC：BE=EM：BE=3：1，推出D′F：FN=1：3，設(shè)DF=FD′=a，則FN=3a，因為DF=$\frac{1}{5}$AD，推出AD=5a，推出AN=AF-FN=4a-3a=a，由此即可證明．

解答 證明：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=∠B=90°，
∵△DEM是由△DEC翻折得到，
∴∠DME=∠C=90°，
∴∠AMD+∠BME=90°，∠BME+∠MEB=90°，
∴∠AMD=∠MEB，∵∠A=∠B=90°，
∴△AMD∽△BEM．

（2）如圖2中，

同理可證△AMN∽△BEM，
∵∠A=∠D′=90°，∠ANM=∠FND′，
∴△D′FN∽△AMN∽△BEM，
∵BE=$\frac{1}{4}$BC，
∴EC：BE=EM：BE=3：1，
∴D′F：FN=1：3，設(shè)DF=FD′=a，則FN=3a，
∵DF=$\frac{1}{5}$AD，
∴AD=5a，
∴AN=AF-FN=4a-3a=a，
∴AN=DF=a．
∴AN=DF．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、翻折變換等知識，靈活運用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，是由中考�？碱}型．