Question

18．在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，D為BC中點，且CE=AE，過A作AF⊥BE于F，若DF=2$\sqrt{2}$，則EF=2．

Answer 1

分析 先設AE=CE=a，則AB=2a，BC=2$\sqrt{2}$a，求得$\frac{BD}{BE}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，再根據AF⊥BE，∠BAE=90°，求得$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，進而得到$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BF}{BC}$，根據∠DBF=∠EBC，判定△BDF∽△BEC，得出$\frac{DF}{EC}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，最后求得a=2$\sqrt{5}$，據此得到EF的長．

解答 解：設AE=CE=a，則AB=2a，BC=2$\sqrt{2}$a，
∵∠BAC=90°，D是BC的中點，
∴BE=$\sqrt{5}$a，BD=$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{5a}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∵AF⊥BE，∠BAE=90°，
∴AE²=EF×EB，即a²=EF×$\sqrt{5}$a，
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，BF=$\frac{4}{5}\sqrt{5}$a，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\frac{4}{5}\sqrt{5}a}{2\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BF}{BC}$，
又∵∠DBF=∠EBC，
∴△BDF∽△BEC，
∴$\frac{DF}{EC}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{CE}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴CE=2$\sqrt{5}$，
∴a=2$\sqrt{5}$，
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×2$\sqrt{5}$=2，
故答案為：2．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質以及射影定理的綜合應用，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．