Question

5．如圖，∠CAB=45°，AB=3，△ABC的面積為3，E為BC上任意一點，連AE，將△ABE，△ACE分別延AB，AC翻折至△ABM，△ACN，連MN，則MN的最小值$\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 過C作CD⊥AB于D，根據已知條件得到CD=2，根據勾股定理得到BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}=\sqrt{5}}$，當AE⊥BC時，AE最小，根據三角形的面積公式得到AE=$\frac{2{S}_{△ABC}}{BC}$=$\frac{2×3}{\sqrt{5}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，根據翻折的性質得到AM=AN=AE，根據勾股定理即可得到結論．

解答 解：過C作CD⊥AB于D，
∵AB=3，△ABC的面積為3，
∴CD=2，
∵∠CAB=45°，
∴AD=CD=2，
∴BC=1，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}=\sqrt{5}}$，
∴當AE⊥BC時，AE最小，
∴AE=$\frac{2{S}_{△ABC}}{BC}$=$\frac{2×3}{\sqrt{5}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，
∵將△ABE，△ACE分別延AB，AC翻折至△ABM，△ACN，
∴AM=AN=AE，
∵∠CAB=45°，
∴∠MAN=90°，
∴MN=$\sqrt{A{N}^{2}+A{M}^{2}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$．
故答案為：$\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了翻折的性質，勾股定理，三角形的面積公式，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．